Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld

Pr¨asenzaufgaben zur Analysis I Blatt XII vom 20.01.2010

Aufgabe XII.1

Seien a, b≥0, p, q > 1 mit ¹_p + ¹_q = 1 und f¨ur n∈N seienx₁, x₂, . . . , x_n positive reelle Zahlen. Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen:

a) a·b≤ 1 pa^p+ 1

qb^q (Youngsche Ungleichung)

b)

n

X

k=1

x_k

!₂

≤n·

n

X

k=1

x²_k

Aufgabe XII.2

F¨urn∈N seif_n: [0,∞)→R, f_n(x) = _n^x₂e^−x/n.

Zeigen Sie, dass die Folge (f_n) auf [0,∞) gleichm¨aßig gegen 0 konvergiert.

Aufgabe XII.3

Seif : [1,∞)→R, f(x) = _x¹. Des Weiteren sei a >1 und f¨urn∈N,k= 0, . . . , n setze x_k=a^k/n.

Berechnen Sie

S(n) =

n

X

k=1

f(x_k−1)(x_k−x_k−1) und lim

n→∞

S(n).

Skizzieren Sie f¨ur a= 4 und n= 4 die Gr¨oße S(4) in einer Grafik zusammen mit dem Graphen der Funktionf.

Welche Gr¨oße wird durch lim

n→∞

S(n) beschrieben?

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