Aufgabe XII.1 Verbessern Sie den Existenzsatz 5.4, indem Sie die Voraussetzungen an die Koeffizien- tenfunktionen bi: Ω→ R, i= 1

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen¨ Blatt XII vom 12. Januar 2012

(Abgabe bis Freitag, 20. Januar, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors)

Wie in der Vorlesung bezeichne L durchweg einen Differentialoperator auf Ω ⊂ R^d symbolisch definiert durch

Lu(x) =−

d

X

i,j=1

∂i(aij(x)∂ju(x)) +

d

X

i=1

bi(x)∂iu(x) +c(x)u(x).

Aufgabe XII.1

Verbessern Sie den Existenzsatz 5.4, indem Sie die Voraussetzungen an die Koeffizien- tenfunktionen bi: Ω→ R, i= 1, . . . , d, und c: Ω →R derart abschw¨achen, dass die zu L assoziierte Bilinearform beschr¨ankt bleibt.

Hinweis: Verwenden Sie die Einbettung H¹(Ω),→ L^2d/(d−2)(Ω) in Verbindung mit der H¨olderschen Ungleichung.

Aufgabe XII.2

Die Koeffizientenfunktionena_ij, b_i, c:B₁(0)→R,i, j= 1,2, seien f¨ur die verschiedenen Aufgabenteile gem¨aß untenstehender Tabelle definiert. Entscheiden Sie jeweils, ob f¨ur Ω =B₁(0)⊂R² die zuL assoziierte Bilinearform koerziv ist.

a) b) c) d)

a₁₁(x) 2 +|x₂| 1 +|x₂| 1 3

a₂₁(x) x₁ x₁ 1 2

a₁₂(x) x₁ x₁ 1/2 2

a₂₂(x) x²₁ x²₁ 1 2

b₁(x) 0 0 0 |x|²

b2(x) 0 0 0 |x|²

c(x) 17 0 0 x²₁−2x1+ 4

Aufgabe XII.3

Sei a: (0,2) → R definiert durch a(x) = √

2x−x². Gesucht wird eine Funktion u: [0,2]→R, die das folgende Randwertproblem l¨ost:

(−(a(x)u⁰(x))⁰ = 1 f¨urx∈(0,2), u(0) =u(2) = 0.

a) ¨Uberpr¨ufen Sie alle Voraussetzungen des Existenzsatzes 5.4 f¨ur elliptische Diffe- rentialgleichungen.

b) Entscheiden Sie, ob a∈H₀¹((0,2)).

c) L¨osen Sie das obige Problem mit herk¨ommlichen Methoden und diskutieren Sie, in welchem Funktionenraum die L¨osung liegt bzw. nicht liegt.

Aufgabe XII.4

F¨ur Funktionenu: Ω→R,h >0 undi∈ {1, . . . , d}definieren wir Differenzenquotienten D^h_iu(x) = u(x+hei)−u(x)

h auf Ω₀ = Ω₀(h, i) ={x∈Ω :x+he_i∈Ω}.

Beweisen Sie folgenden Satz im Fall p= 2:

Satz. (i) Sei 1≤p <∞. Dann gilt f¨uri= 1, . . . , d, h >0 und jedes u∈W^1,p(Ω) kD^h_iuk_Lp(Ω0) ≤ k∂_iuk_Lp(Ω).

(ii) Seien 1 < p ≤ ∞, u ∈ L^p(Ω) und i ∈ {1, . . . , d}. Es gelte f¨ur jedes Ω⁰ b Ω und jedes h >0, f¨ur dasD^h_iu auf Ω⁰ erkl¨art ist, die Ungleichung

kD^h_iuk_Lp(Ω⁰)≤K f¨ur eine Zahl K >0.

Dann existiert die i-te schwache Ableitung ∂_iu, die k∂_iuk_Lp(Ω) ≤K erf¨ullt.

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