Aufgabe 1. Sei Ω = {ω = (ω

Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, C. Schumacher, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Ubungsblatt 2 ¨

Aufgabe 1. Sei Ω = {ω = (ω

, ω

, . . . ) | ω

∈ {−1, +1}}. Wir definieren Abbildungen S

: Ω → R , n ∈ N , durch S

(ω) = (1/n) P

i=1

ω

. Was bedeuten die den folgenden Mengen zugeordneten Ereignisse anschaulich?

(a) S

[−1/2, 1/2]

(b) \

n∈N n≥2

S

[−1/2, 1/2]

(c) \

ε∈Q ε>0

[

n

\

m≥n

S

([−ε, ε])

Aufgabe 2. Sei Ω eine ¨ uberabz¨ ahlbare Menge und F = {A ⊂ Ω | A h¨ ochstens abz¨ ahlbar oder A

h¨ ochstens abz¨ ahlbar}. F¨ ur A ∈ F sei

P (A) =

( 0 A h¨ ochstens abz¨ ahlbar, 1 A

h¨ ochstens abz¨ ahlbar.

Zeige, dass F eine σ-Algebra ¨ uber Ω und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf F ist.

Aufgabe 3. Ein messbarer Raum (Ω, A) mit einem Maß µ: A → [0, ∞] heißt Maßraum.

(a) Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum und N := {N ∈ A | µ(N ) = 0} die Familie der µ- Nullmengen. Zeigen Sie

(i) ∅ ∈ N ,

(ii) N ∈ N , A ∈ A, A ⊂ N ⇒ A ∈ N , (iii) ∀ i ∈ N : N

∈ N ⇒ S

i∈N

N

∈ N .

(b) Seien a, b ∈ R gegeben. Geben Sie alle Nullmengen des Diracmaßes δ

+ δ

auf dem messbaren Raum ( R , B( R )) an.

Aufgabe 4. Zeigen Sie: f¨ ur Ereignisse A

, A

, . . . , A

in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) gilt

P

n

[

i=1

A

!

=

n

X

k=1

(−1)

X

1≤i1<···<i_k≤n

P (A

∩ A

∩ · · · ∩ A

)

!

.