Aufgabe 1 a,b
Blatt 5, Aufgabe 1: Wellengleichung
a) Lösung der DGL:
b)
Einsetzen
f(z,t) ist Lösung der DGL für
) cos(
) ,
( z t A t kz
f = ω −
2
0
2 2 2
2
=
∂
− ∂
∂
∂
z v f
t f
ph
) cos(
) sin(
) cos(
) sin(
2 2
2 2
2 2
kz t
Ak kz
t Ak
kz t
A kz
t A
z f z
f
t f t
f
−
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ω ω
ω ω
ω ω
ph k
=
ωv
( )
ph k ph k
ph
ph
kz t
A k
kz t
Ak kz
t A
ω ω
ω ω
ω ω
ω
=
=
⇒
=
−
−
=
− +
−
−
v v
0 ) cos(
v
0 ) cos(
v ) cos(
2
2 2
2 2
2
2 2
2
Blatt 5, Aufgabe 1: Wellengleichung
c) Stehende Welle:
Einsetzen
) cos(
) cos(
) ,
( z t A t kz
g = ω
2
0
2 2 2
2
=
∂
− ∂
∂
∂
z v f
t f
ph
) cos(
) cos(
) sin(
) cos(
) cos(
) cos(
) cos(
) sin(
2 2
2 2
2 2
kz t
Ak kz
t Ak
kz t
A kz
t A
z g z
g
t g t
g
ω ω
ω ω
ω ω
−
=
−
=
−
=
−
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
( )
0 ) cos(
) cos(
0 ) cos(
) cos(
v
0 ) cos(
) cos(
v ) cos(
) cos(
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
⎟ =
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛ −
=
−
= +
−
kz t
A k k
kz t
A k
kz t
Ak kz
t A
ph
ph
ω ω ω
ω ω
ω ω
ω
Aufgabe 2
Blatt 5, Aufgabe 2: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
( ) ( )
2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
cos cos
2
cos cos
k k m
m
k
k k k
+ +
+
−
=
=
−
= Δ
−
= Δ
=
= +
ω ω
β α β
α
ω
ω ω ω
β α
a)
b) Ein Maximum unter der Einhüllenden bewegt sich mit
c)
( t z ) ( t k z )
A t
z x t z x t
z x
z k t A
t z x z
k t A
t z x
m m
k
⋅ −
−
⋅
= +
=
−
⋅
=
−
⋅
=
Δ Δ
ω
ω ω
ω
cos
cos 2
) , ( )
, ( )
, (
) cos(
) , ( ),
cos(
) , (
2 2 2
1
2 2
2 1
1 1
Überlagerung
2 1
2 1 2 1
2 1
2 2
k k k g k
k k ph km
m
−
− ΔΔ
Δ Δ
+ +
=
=
=
=
=
ω ω ω
ω
ω ω ω
v v
Ein Maximum der Einhüllenden bewegt sich analog mit
(siehe Abbildung auf nächster Seite)
λ
λ λ λπ ω
λ
ddph g
dk d d d dk ph
d k
d dk dk ph
k d k d d g
ph
ph ph
ph
k
v
v v
v
v v
v v
v
−
=
⋅
⋅ +
= +
=
=
=
( ⋅ ) 2Dispersion: Die Gruppengeschwindigkeit weicht von der Phasengeschwindigkeit ab, wenn die Phasengeschwindigkeit nicht konstant bzgl. der Wellenlänge ist.
ω
1k
2ω
2k
11 1 1
,
k
v
ph= ω
2 2 2
,
k
v
ph= ω
{
λ πλ 2d 2
1
− −
v r
gv r
pht=0
t=T
t=2T
Beispiel einer Wellengruppe mit Dispersion v
g≠ v
phBlatt 5, Aufgabe 2: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
Aufgabe 3
Blatt 5, Aufgabe 3: Elektromagnetische Welle
1. Ladungen sind Quellen des el. Feldes
t D t
B
j H
rot E rot
B div
D div
∂∂
∂∂
+
=
−
=
=
=
r r
r r r r r
0 0 0
0
ε μ μ
ε
Maxwell-Gleichungen:
ρ2. Das Magnetische Feld ist quellenfrei (es gibt keine magnetischern Ladungen) 3. Zeitliche Änderungen des Magnetfeldes
erzeugen elektrisches Wirbelfeld
4. Verschiebungsströme und zeitliche Änderungen des elektr. Feldes erzeugen magnetisches Wirbelfeld
2 2 0 2 0
2 2
2 0 2 0
2
2 2 2
2
1 1
0 0 0
0
0 0 0
0 0
: analog )
(
) 4 ( )
2 ( 0
) 3 ( )
1 ( 0
z B t
B z
E t
E
t t
t E t
t
t E t
B
B B
E E
E E
div grad
B rot E
rot rot
H rot B
rot B
div
E rot E
div D
div
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
=
= Δ
= Δ
−
= Δ
−
−
=
=
=
=
−
=
=
=
ε μ ε
μ
ε μ ε
μ
ε μ
ε μ
r r
r r
r 3
2 1
r
r r
r r
r
r r
r
r
r r
Im Vakuum:
A A div grad A
rot
rot = −Δ
A grad div A
A A
rot
A A
div
A A
grad
r r
r r r
r r r
r r r
= Δ
×
∇
=
⋅
∇
=
∇
=
Bilde rot (3)
in 1 Dimension:
Blatt 5, Aufgabe 3: Elektromagnetische Welle
a) Ansatz:
b)
Am Vs
Vm As
6 0
12 0
10 2566 ,
1
10 8542 ,
8
−
−
⋅
=
⋅
= μ
ε
) (
)
0,
( z t E e
i t kzE =
ω −k c v
e k E
e E k e
E
e E z k
e E t E
E
s m ph
z k t i
z k t i z
k t i
z k t i z
k t i
=
⋅
=
=
=
⇒
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
⇒
−
=
−
⇒
−
∂ =
− ∂
∂ =
∂
−
−
−
−
−
8 0
0
) (
0 0 0 2
2
) (
0 2 0 0 )
( 0 2
) (
0 2 2
2 )
( 0 2 2
2
10 998 , 1 2
1 0
1
ε μ ω
ε μ ω
ε ω μ
ω
ω
ω ω
ω ω
0 ) 1 sin(
) ) sin(
) Im(
) sin(
) Im(
sin(
) Im(
0 ) 1 cos(
) ) cos(
) Re(
) cos(
) Re(
cos(
) Re(
0 0 0 2 2
0 2 2
2 0
2 2
2 0
0 0 0 2 2
0 2 2
2 0
2 2
2 0
=
⎟⎟ −
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
⇒
−
−
∂ =
− ∂
−
∂ =
− ∂
=
=
⎟⎟ −
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
⇒
−
−
∂ =
− ∂
−
∂ =
− ∂
=
z k t k E
z k t E z k
z E k t t E
z E k t E E
z k t k E
z k t E
z k z E
k t t E
z E k t E
E
ε ω μ ω
ω ω
ω ω
ε ω μ ω
ω ω
ω ω
Aufgabe 3 c
Blatt 5, Aufgabe 3: Elektromagnetische Welle
c) Wellenpakt: E ( z , t ) = ∫ A ( ω ) e
i(ωt−ωcz)d ω
0 ) , 1 (
1
) , 1 (
) , (
) , ( )
, (
) , (
) , ( )
(
) ( )
(
2 0 0
2 2
0 0 2
2 2 2
2 2
2 2
) (
) (
) (
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
⇒
−
=
−
⇒
−
∂ =
− ∂
∂ =
∂
−
∂ =
∂
∂
= ∂
∂
∂
=
=
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
∂
−
−
−
∫
∫
∫
t z c E
t z c E
t z E
t z c E
z t E
z c E
z i E
t z t E
E t t
E
t z E i d
e i A
d t e
A d
e t A
t E
cz t i
cz t i cz
t i
ε μ
ω ε ω μ
ω ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω ω
Blatt 5, Aufgabe 4: Stehende Wellen auf einer Geigensaite
a) Die Auslenkung muss an beide Enden Null sein.
b)
c) Die Phasengeschwindigkeit v ist durch Materialeigenschaften festgelegt und bleibt konstant, unabhängig davon, wo auf der Saite gegriffen wird!
Die Saite muss also halbiert werden, um die Frequenz zu verdoppeln.
Hz g
f
cm g
l
196 )
(
30 )
(
=
=
f l g f g
f g l f
f g
g f v
= ′
= ′
= ′
⇒ ′
⋅′ ′
=
⋅
=
) ( 2
) ( ) ( 2
) ( ) (
λ λ
λ λ
d
l
l ′ l
g = ⋅
⇒ λ ( ) 2
s cm m
Hz g
g f f
v = ⋅ λ = ( ) ⋅ λ ( ) = 196 ⋅ 2 ⋅ 30 = 117 , 6
Aufgabe 4 d
Blatt 5, Aufgabe 4: Stehende Wellen auf einer Geigensaite
Hz g
f
cm g
l
196 )
(
30 )
(
=
=
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− ′
′ =
−
= f
g l f
l l
d ( )
1
d
l
l ′
Ton Frequenz [Hz]
Saitenlänge l’
[cm]
Abstand vom Saitenende d [cm]
a 220 26,7 3,3
h 247 23,8 6,2
c 262 22,4 7,6
d 294 20,0 10,0
d)
Blatt 5, Aufgabe 5: Entspiegelung
Prinzip
n
S=1,2 n
G=1,5
d n
vac=1 λ
vac Δϕ =π =ˆ λ2Die reflektierten Wellen löschen sich genau dann aus, wenn die direkte Reflexion an der dünnen Schichtund die Reflexion am Glas um λ/2 verschoben (um π phasenverschoben) sind.
Phasensprünge bei Reflexion am optisch dichteren Medium:Da der Phasensprung sowohl bei der Reflexion an der dünnen Schicht als auch bei der Reflexion am Glas auftritt, heben sich beide Sprünge hier auf.
Der Gangunterschied in der dünnen Schicht muss also λ/2 betragen:
nm d
d d
n vac n
S
vac
125
2
4 1 4
4 2
=
⋅
⋅
=
=
=
⇒
=
λ
λ
λ λ
λ ist die Wellenlänge innerhalb der Schicht!
vac
nm
n vac n
S vac
