Blatt 3, Aufgabe 1: Die Erde als Inertialsystem
a)
b)
c)
s g r m
a
s s T
m s s
t m c r
Bahn Bahn
Bahn
Bahn Bahn
Bahn Licht Bahn
⋅
≈
×
=
=
×
⋅ =
⋅
⋅
= ⋅
=
×
=
⋅
⋅
×
=
⋅
=
−
−
−
% 06 . 0 10
6
10 60 2
60 24 25 . 365 1
2 2
10 5 . 1 60
3 . 8 10
3
2 3 2
1 7
11 8
,
ω
π ω π
d T
km r
a T
t
Erde Erde
Bahn Bahn Licht
1 6400
1
min 3 .
, 8
=
=
=
=
s g r m
a
s s T
Erde Erde
Erde
Erde Erde
⋅
≈
×
=
=
×
⋅ =
⋅
= ⋅
=
−
−
−
% 34 . 0 10
4 . 3
10 3 . 60 7
60 24 1
2 2
2 2 2
1 5
ω
π ω π
000000005 .
1 10
1 1 1
1
10 3
8 2
2
4
− =
=
−
=
×
=
=
−
c v
s r m
v
Bahn Bahn
Bahn Bahn
Bahn
γ
ω
Zeitdilatation: Während im Raumschiff die Zeit vergeht, vergeht auf der Erde die Zeit
In dieser Zeit hat sich das Raumschiff von der Erde um entfernt. Das Licht benötigt nun, um wieder zur Erde zurückzukommen, die Zeit
Bis der Beobachter auf der Erde die Uhr im Raumschiff auf 1h stehen sieht, vergeht bei ihm also die Zeit
Blatt 3, Aufgabe 2: Zeitdehnung
' t t
t L = c s = v c t = ⋅ Δ = ⋅ Δ
Δ Δ ⋅ Δ β βγ
( )
v h c
v c
t t
t t
t B L
1
1 ' ' 1
1
− ⋅
= +
Δ
− ⋅
= + Δ
⋅ +
= Δ + Δ
=
Δ β
γ β β
h t ' = 1 Δ
' t t = ⋅ Δ Δ γ
t v s = ⋅ Δ Δ
v
t L
t + Δ Δ
v
h t ' = 1 t Δ
Δ
Δ s
Blatt 3, Aufgabe 3: Das Myon
Lorentz-Faktor:
• ruhender Beobachter
Zeitdilatation: Für den auf der Erde ruhenden
Beobachter scheint das Myon länger zu existieren:
Es legt in dieser Zeit die Strecke
zurück und erreicht also die Erde.
( ) 1 0 , 9995 31 , 63
1 1
1
2
2 ≈
= −
= −
c v
γ
c v
km h
s
⋅
=
=
⋅
= −
9995 ,
0 10
10 2 ,
2 6
μ
τ μ
s s
t
t Erde = γ μ ≈ 31 , 63 ⋅ 2 , 2 ⋅ 10 − 6 = 6 , 95 ⋅ 10 − 5
km t
v
s = μ Erde = 20 , 8
Blatt 3, Aufgabe 3: Das Myon
Lorentz-Faktor:
b) bewegter Beobachter
Längenkontraktion: Für den mitfliegenden Beobachter scheint die zurückgelegte Strecke bis zum Erdboden kürzer:
Diese Strecke legt es mit in der Zeit
zurück, also innerhalb seiner Lebenszeit. Somit erreicht es die Erde.
Beide Betrachtungsweisen sind äquivalent!
( ) 1 0 , 9995 31 , 63
1 1
1
2
2 ≈
= −
= −
c v
γ
c v
km h
s
⋅
=
=
⋅
= −
9995 ,
0 10
10 2 ,
2 6
μ
τ μ
m s μ = γ h ≈ 10 31 , km 63 = 316
s t
s m
m v
s 6
10 3 9995 , 0
316
81 , 05 10
−
⋅
⋅ = ⋅
=
=
μc
v μ = 0 , 9995 ⋅
Blatt 3, Aufgabe 4: Geschwindigkeitsaddition
a)
b)
γ γ
γ γ
γ γ
u c c
vu u c
vdx dt
dy dt
u dy
c v vu
v u dt
dx c
v dt v dx
c vdx dt
vdt dx
dt u dx
y x
y y
x x x
= + =
+ =
=
=
+ =
= + +
= +
+
= +
=
' )
/ ' 1
(
' )
/ ' '
(
' / ' 1
' '
1 ' '
'
) / ' '
(
) ' '
(
2 2
2 2
2
) / ' '
( '
) ' '
( '
0 '
c 2
vdx dt
dt
dy dy
vdt dx
dx c u
u
y x
+
=
=
+
=
=
=
γ γ
c c c v
v c
v u
u
u x y ⎟⎟ ⎠ =
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ − +
= +
= +
= 2 2 2 2 / γ 2 2 2 1 2 2
(erweitern mit 1/dt’)
x’
y’
y
x
K’
K
v
u
Blatt 3, Aufgabe 5: Elektronen und Photonen
Elektron
C e
keV E
c v
c v
19 1
1 0
10 602 , 1
29 , 2 511
9 , 0
2 2
−
−
⋅
=
=
=
=
⋅
= γ
a) Relativistische Gesamtenergie:
b) Relativistische Masse
Nach Einstein ist Masse äquivalent zu Energie, d.h. man
kann beide gleichermaßen verwenden und über c 2 ineinander umrechnen. Die Ruhemasse eines Elektrons beträgt dann:
Die relativistische Masse ist die Ruhemasse mit γ multipliziert.
Die relativistische Masse ist also um den Faktor γ=2,29 größer als die Ruhemasse des Elektrons.
{ c E keV keV m
c v m E
E
ges ( )
2511 1172
0
9 , 0 1
1 0
2 0
2 = = = ⋅ ≈
= γ γ −
( ) ( ) ( ) kg
m
s m s
m s
m
V J keV C
c E
2 8 2
19 5
8 2 2
0
31
10 3
10 602 , 1 10 11 , 5 10
3 511
0 9 , 1 10 −
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ = ≈ ⋅
=
=
−kg kg
m v
m ( ) = γ ⋅ 0 ≈ 2 , 29 ⋅ 9 , 11 ⋅ 10 − 31 = 2 , 09 ⋅ 10 − 30
Blatt 3, Aufgabe 5: Elektronen und Photonen
Photon c) Ruhemasse des Photons
Die Ruhemasse eines Photons beträgt
d) Charakteristische Eigenschaft
Die Formel für die Gesamtenergie lautet:
Beim masselosen Photon wird daraus:
Das Photon hat also, obwohl es keine Masse besitzt, einen Impuls. Dieser ist direkt proportional zur Energie. Der Impuls kann auch übertragen werden (Bsp: Lichtmühle).
Photonen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit, was nur für masselose Teilchen möglich ist.
0
