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Zahlentheorie – Blatt 3

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Zahlentheorie – Blatt 3

Abgabe am 9.5.2017 bis 10:30 Uhr

1 2 3 4 Σ

Bitte drucken Sie diese Seite aus und verwenden Sie sie als Deckblatt f¨ur Ihre L¨osungen.

Wie ¨ublich sind alle Antworten zu begr¨unden/beweisen.

Aufgabe 1 (4 Punkte):

Seienm≥2 undz∈Rgegeben, und sei f die zahlentheoretische Funktion mitf(1) = 1,f(m) =z undf(n) = 0 f¨ur n /∈ {1, m}.

(a) Seig das Faltungsinverse vonf. Bestimmen Sieg.

(b) Unter welchen Bedingungen an m und/oder z konvergiert P

ng(n)? Wogegen konvergiert die Summe? Passt dieses Ergebnis zu Lemma 1.4.11 aus der Vorlesung?

Aufgabe 2 (6 Punkte):

Eine zahlentheoretische Funktion f heißt vollst¨andig multiplikativ wenn f(1) = 1 ist und f¨ur alle m, n ∈ N gilt:

f(m·n) =f(m)·f(n). Zeigen Sie:

(a) Sindf,gundhzahlentheoretische Funktionen, wobeihvollst¨andig multiplikativ ist, so gilt (f∗g)·h= (f·h)∗(g·h).

(Hierbei istf1·f2 die punktweise Multiplikation, d. h. (f1·f2)(n) =f1(n)·f2(n).) (b) Istf vollst¨andig multiplikativ, so istf ·µdas Faltungsinverse vonf.

(c) Sind f undg vollst¨andig multiplikative zahlentheoretische Funktionen und giltf(p) = g(p) f¨ur alle Primzahlen p, so ist schonf =g.

Aufgabe 3 (4 Punkte):

F¨ur n∈Ndefiniert manσ(n) als die Summe aller Teiler vonn. Zeigen Sie:

X

n≤x

σ(n) = π2

12x2+o(x2).

Hinweis: Gehen Sie ¨ahnlich wie bei den Beweisen der S¨atze 1.4.2 und 1.4.3 aus der Vorlesung vor. Dabei ist es hilfreich, die Summe der Teiler vonnnicht alsP

d|ndzu schreiben, sondern alsP

d|n n d. Aufgabe 4 (2 Punkte):

Wir betrachten die (konstanten) Funktionenfn(x) :=nund die Funktiong(x) :=P

n≤xfn(n).

F¨ur nat¨urlichemhaben wirg(m) =P

n≤mn=m(m+1)212m2.

Andererseits istfn(x) =O(1). Also gilt, da die Summe in der Definition von g ausbxcSummanden besteht, g(x) =bxc ·O(1) =O(x).

Wir haben also gezeigt: 12m2=O(m).

Ist dieses Ergebnis richtig? Wenn nein, wo liegt dann der Fehler in der Argumentation? Erl¨autern Sie.

Vorlesungswebseite:http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/ZTh_SS17/

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So hat A auf der einen Seite nur in Zeile i Eintr¨ age ungleich 0, auf der anderen Seite ist A die Summe von Matrizen, die alle in Zeile i nur den Eintrag 0 haben.. Zuletzt bleibt