Blatt 3 24.10.2017

Ubungen zur Ingenieur-Mathematik I ¨ WS 2017/2018

Blatt 3 24.10.2017

Aufgabe 14: Vereinfachen Sie die folgenden Summen:

a)

10

X

i=1

(a i − a i+1 ), b)

10

X

i=1 10

X

j=1

a _ij −

10

X

i=1 5

X

j=1

a _i,2j .

L¨ osung:

a) P 10

i=1 (a _i − a _i+1 ) = P 10

i=1 a _i − P 10

i=1 a _i+1 = P 10

i=1 a _i − P 11

i=2 a _i = a ₁ − a ₁₁ b)

10

X

i=1 10

X

j=1

a _ij −

10

X

i=1 5

X

j=1

a _i,2j =

10

X

i=1

(

10

X

j=1

a _ij −

5

X

j=1

a _i,2j )

=

10

X

i=1

(

5

X

j=1

a i,2j−1 )

Aufgabe 15: Zeigen Sie mit Hilfe vollst¨ andiger Induktion:

a)

n

X

k=1

k ² = 1

6 n(n + 1)(2n + 1) ; b) n! ≥ 2 ⁿ⁻¹ .

L¨ osung:

Zu a) (IA): n = 1:

1

X

k=1

k ² = 1

6 1 · 2 · 3 X . (IAn):

n

X

k=1

k ² = 1

6 n(n + 1)(2n + 1) f¨ ur ein n ∈ N . (IS): n n + 1:

Beh.:

n+1

X

k=1

k ² = 1

6 (n + 1)(n + 2)(2n + 3)

Bew.:

n+1

X

k=1

k ² =

n

X

k=1

k ² + (n + 1) ²

= 1

6 n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1) ²

= 1

6 (n + 1) · (n(2n + 1) + 6(n + 1))

= 1

6 (n + 1) · (2n ² + 7n + 6)

= 1

6 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) X . Zu b)

(IA): F¨ ur n = 1:

1! = 1 ≥ 1 = 2 ⁰ X . (IAn): n! ≥ 2 ⁿ⁻¹ f¨ ur ein n ∈ N .

(IS): n n + 1:

Beh.:

(n + 1)! ≥ 2 ⁿ Bew.:

Es gilt

(n + 1)! = (n + 1)n! ≥ (n + 1)2 ⁿ⁻¹ ≥ 2 · 2 ⁿ⁻¹ = 2 ⁿ . Aufgabe 16: Die Zahlenfolge (a _n ) sei rekursiv definiert durch

a ₀ = 1, a _n = a n−1 + 2n + 1 (n = 1, 2, . . .).

Man gebe eine explizite Formel f¨ ur das allgemeine Glied der Folge an und beweise diese Formel!

L¨ osung: Die L¨ osung ist

a _n = (n + 1) ² . Wir beweisen dies mit vollst¨ andiger Induktion ¨ uber n.

a) Induktionsanfang (IA): F¨ ur n = 0 ist die Formel richtig:

a ₀ = (0 + 1) ² = 1 Induktionsannahme (IAn): Die Formel

a _n = (n + 1) ² sei richtig f¨ ur ein n ∈ N .

Induktionsschritt (IS): n n + 1

Beh.: Die Formel ist richtig f¨ ur n + 1 ∈ N : a _n+1 = (n + 2) ² Bew.:

a _n+1 = a _n + 2(n + 1) + 1 = (n + 1) ² + 2n + 3 = n ² + 4n + 4 = (n + 2) ² .

Also gilt die Formel f¨ ur alle n ∈ N = {1, 2, 3, . . .}.

Aufgabe 17: Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a _n ) n∈ N : a) a _n := ⁻⁷ⁿ _5n

⁺³ⁿ⁻¹

+5 ;

b) a _n := _(2n+ ³ⁿ

^{+n−2 √} _n)

; c) a _n := (1 + _n ¹

) ⁿ ;

Tipp: Wenden Sie die Bernoullische Ungleichung einmal auf a _n und einmal auf _a ¹

n

an und zeigen Sie damit, dass a _n ≥ 1 + 1

n und

a _n ≤ 1 + n n ² − n + 1 gelten.

Berechnen Sie die Grenzwerte dieser beiden Folgen.

L¨ osung:

a)

a _n = −7n ² + 3n − 1

5n ² + 5 = n ² (−7 + ³ _n − _n ¹

)

n ² (5 + _n ⁵

) = −7 + _n ³ − _n ¹

5 + _n ⁵

→ − 7 5 f¨ ur n → +∞, da _n ³ , − _n ¹

, _n ⁵

→ 0 f¨ ur n → +∞.

b)

a _n = n ³ (3 + _n ¹

− _n ²

)

n ³ (2 + ^{√ 1} _n ) ³ = 3 + _n ¹

− _n ²

(2 + ^{√ 1} _n ) ³ → 3 2 ³ = 3

8 f¨ ur n → +∞, da _n ¹

, − _n ²

, ^{√ 1} _n → 0 f¨ ur n → +∞.

c) Beh.: a _n = (1 + _n ¹

) ⁿ → 1 f¨ ur n → +∞.

Beweis: Wegen der Bernoulli-Ungleichung gilt:

a _n = (1 + 1

n ² ) ⁿ ≥ 1 + n · 1

n ² = 1 + 1 n

⇒ 1

a _n = 1

1 + _n ¹

n = 1

n

+1 n

n =

n ² n ² + 1

n

=

n ² + 1 − 1 n ² + 1

n

=

1 − 1 n ² + 1

n

≥ 1 − n

n ² + 1 = n ² − n + 1 n ² + 1

⇒ a n ≤ n ² + 1

n ² − n + 1 = n ² − n + 1 + n

n ² − n + 1 = 1 + n n ² − n + 1

D.h. also : a n = (1 + 1/n ² ) ⁿ → 1 f¨ ur n → +∞, da sowohl 1 + _n ¹ → 1 als auch

1 + _n

−n+1 ⁿ → 1.