MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITAT MUNCHEN
Prof. Dr. Otto Forster
WS 2000/2001
ElliptischeFunktionen und Elliptische Kurven,
Ubungen
Blatt 1 Aufgabe 1
Es sei C ein Gitter und R:=f2C :g:
Man zeige:
a)R ist ein kommutativer Ring mit Einselement.
b) Fur die Gruppe R der Einheiten vonR gilt:R=f2C : = g:
c)R\R=Z:
Aufgabe 2
Es seien zwei Gitter gegeben: 1:=Z+iZund 2 :=Z+Z, wobei:=e2 i=3 die dritte Einheitswurzel bezeichnet. Man berechne die Gruppe der Einheiten (siehe Aufgabe 1)
R
1 und R2:
Aufgabe 3
Man betrachte die holomorphe Abbildung
:C !C; z7!e2 iz und zeige:
a) ist surjektiv und lokal biholomorph.
b) Fur alle holomorphen Abbildungen f :C !C ist F :=f :C !C eine holomorphe Funktion mit der Periode 1.
c) Umgekehrt lat sich jede holomorphe Funktion F :C ! C mit Periode 1 zerlegen in
F =f, wobeif :C !C holomorph ist.
Aufgabe 4
Man zeige: Jede holomorphe Funktion F : C ! C mit Periode 1 lat sich schreiben als eine unendliche Reihe
F(z) = X1
n= 1 c
n e
2 inz
; c
n 2C;
die auf jedem kompakten Teil vonC gleichmaig konvergiert.
Hinweis:Man zerlege F in f und wende eine Laurententwicklung an.
Abgabetermin: Mittwoch, 25.10.2000, 9.00 Uhr
in den Ubungskasten vor HS 138.Bei jeder Aufgabe konnen bis zu 4 Punkte erreicht werden.
