MATHEMATISCHES INSTITUT WiSe 2019/20 DER UNIVERSIT ¨ AT M ¨ UNCHEN

(1)

MATHEMATISCHES INSTITUT WiSe 2019/20 DER UNIVERSIT ¨ AT M ¨ UNCHEN

Ubungen zur Mathematik III f¨ ¨ ur Physiker

Prof. Dr. P. Pickl

Blatt 1

Aufgabe 1. In der Vorlesung haben wir gelernt, dass der Konvergenzbegriff von der gew¨ ahlten Metrik abh¨ angt. Dies ist bereits f¨ ur Folgen auf R der Fall, wie in dieser Aufgabe gezeigt werden soll.

Gegeben seien f¨ ur x ∈ {a, b, c} die Abbildungen d

_x

: R

²

→ R

⁺0

gegeben durch (1) d

_a

(x, y) = |x − y|

(2) d

_b

(x, y) =

( 0 falls x = y 1 sonst .

(3) d

_c

(x, y) =

( 0 falls |x − y| < 1 1 sonst .

(a) Welche dieser Abbildungen sind Metriken? Beweisen Sie Ihre Aussage.

(b) Sei (a

_n

)

n∈N

⊂ R eine Folge, a ∈ R . F¨ ur x ∈ {a, b, c} sei A

_x

die Aussage der Konvergenz der Folge bzgl. des Abstandsbegriffes d

x

, d.h.

A

_x

: ∀ε > 0 ∃n ∈ N so dass d

_x

(a

_k

, a) < ε ∀k ≥ n . (ignorieren Sie hier, dass d

_x

nicht notwendiger Weise eine Metrik ist).

Zeigen oder widerlegen Sie jeweils A

_x

⇒ A

_y

f¨ ur alle Paare x, y ∈ {a, b, c}.

Aufgabe 2. Es seien V, W endlichdimensionale Vektorr¨ aume mit Normen k · k

_V

bzw.

k · k

W

. Es sei f : V → W und x ∈ V . Zeigen Sie die ¨ Aquivalenz folgender alternativer Definitionen von Stetigkeit:

(a) ∀ε > 0 ∃δ > 0 so dass kx − yk

_V

< δ ⇒ kf(x) − f(y)k

_W

< ε (b) lim

n→∞

ka

_n

− xk

_V

= 0 ⇒ lim

n→∞

kf (a

_n

) − f(x)k

_W

= 0

(c) U offen bzgl. k · k

_W

⇒ f

⁻¹

(U ) ist offen bzgl. k · k

_V

. Aufgabe 3.

Es seien V, W endlichdimensionale Vektorr¨ aume. Zeigen Sie die ¨ Aquivalenz des Stetigkeits-

begriffs f¨ ur alle Normen auf V und W , d.h. dass f¨ ur f : V → W und x ∈ V sowie zwei

beliebige Normen k · k

_V

und k · k

⁰_V

auf V und zwei beliebige Normen k · k

_W

und k · k

⁰_W

auf

W folgendes Aussagen ¨ aquivalent sind

(2)

(a) ∀ε > 0 ∃δ > 0 so dass kx − yk

_V

< δ → kf(x) − f(y)k

_W

< ε

(b) ∀ε > 0 ∃δ > 0 so dass kx − yk

⁰_V

< δ → kf(x) − f(y)k

⁰_W