Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen Helmut Schwichtenberg
Wintersemester 2009/2010 Blatt 4
Ubungen zur Vorlesung¨
”Mathematische Logik“
Aufgabe 13 (Sprachen der Gruppentheorie). (a) Eine formale Sprache L sei bestimmt durch ein zweistelliges Funktionssymbol ◦ und ein zwei- stelliges Relationssymbol =. Man formalisiere inL: Es gibt ein Element emit folgenden Eigenschaften: (i) eist Linkseinheit (d.h., multipliziert man es von links an ein beliebiges Element, so reproduziert sich dieses).
(ii) Jedes Element x hat bzgl. e ein Linksinverses, d.h. ein Element y, das von links anx heranmultiplizierte ergibt.
(b) Man kann die in (a) implizit geforderte Existenz durch
”Skolemisierung“
explizit machen: L0 sei bestimmt durch die Funktionssymbole e (null- stellig) sowie◦undg(zweistellig), und ein zweistelliges Relationssymbol
=, wobeieeine Linkseinheit und g(x, e) ein Linksinverses vonx bzgl.e bedeuten sollen. Man formalisiere (i), (ii) aus (a) inL0.
Aufgabe 14. Man zeige
(a) `(A∨˜ B →C)→(A→C)∧(B →C),
(b) `(¬¬C→C)→(A→C)→(B→C)→A∨˜ B →C, (c) `(⊥ →B)→(A→B ∨˜ C)→(A→B) ˜∨(A→C), (d) `(A→B) ˜∨(A→C)→A→B∨˜ C.
Aufgabe 15. Man zeige
(a) `c A∨˜ B →(A→C)→(B →C)→C f¨urC ohne∨,∃, (b) `c ˜∃xA→ ∀x(A→B)→B (x /∈FV(B),B ohne∨,∃).
Aufgabe 16. SeiAein fest gew¨ahltes Aussagensymbol. F¨ur nat¨urliche Zah- len kdefinieren wir die FormelkA durch 0A:=A, (k+ 1)A:= (kA→kA).
Die Church-Numerale nk seien definiert durch
nk:=λvkA→kAλukA(vnu) mitv0u:=u,vn+1u:=v(vnu).
(a) Man gebe den Herleitungsbaum f¨ur 30 an.
→β sei der Abschluß von 7→β, also definiert durch (i) WennM 7→β M0, soM →β M0.
(ii) Wenn M →β M0, soM N →β M0N,N M →β N M0,λvM →β λvM0.
=β sei die von→β erzeugte ¨Aquivalenzrelation (also die kleinste ¨Aquivalenz- relation auf Herleitungstermen, die →β enth¨alt). Man zeige
(b) nkv(mkvu) =β (m+n)kvu. (Ind. nachn, mit (n+ 1)kvu=β v(nkvu).) (c) nk(mkv) =β (mn)kv. (Ind. nachn, mit (b) undnkv =β λu(nkvu).) (d) mk+1nk=β (nm)k f¨urm≥1. (Aus (c) durch Induktion nachm.)
Abgabe. Mittwoch, 18. November 2009, in der Vorlesung.
