Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen Helmut Schwichtenberg Wintersemester 2009/2010 Blatt 8

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen Helmut Schwichtenberg

Wintersemester 2009/2010 Blatt 8

Ubungen zur Vorlesung¨

”Mathematische Logik“

Aufgabe 29 (Mints-Formel). Man konstruiere eine normale Herleitung f¨ur ((((P →Q)→P)→P)→Q)→Q

(und beachte dabei, wie die Suche nach einer normalen Herleitung die Be- weissuche steuert).

Aufgabe 30. Man zeige durch Angabe eines geeigneten Baummodells, daß 6`_i ∃˜_xP x→ ∃_xP x.

Aufgabe 31 (Substitutionslemma). Es seienMein Modell,t, r(x) Terme, A(x) eine Formel undη eine Belegung in|M|. Man zeige

(a) η(r(t)) =η^η(t)x (r(x)).

(b) M |=A(t)[η] genau dann, wennM |=A(x)[η^η(t)x ].

Aufgabe 32. SeiMiHerleitung vonAi(0) aus Hyp₁, Hyp₂ (s. Aufgabe 24), N₀(w₀) :=w₀z₀v₀,

N_i(w_i) :=u_i0M_iλ_{zi−1,ui−1,vi−1}Ni−1(w_iz_iv_i) (i >0), wobei ui:Ai−1(zi) (i >0),

vi:R0zi+1zi,

w_i:∀_zi(R0z_i+1z_i→ ∀_zi−1(R0z_izi−1→. . .∀_z0(R0z₁z₀ → ⊥). . .)).

(a) Man bestimme die in N_i(w_i) freien Annahme- und Objektvariablen.

Sei N_i⁰ das Ergebnis der Ersetzung von z_i+1 durch 0 inN_i(w_i), undN_i⁰⁰ das Ergebnis der Ersetzung von z_i durch S0 in N_i⁰. Die in N_i⁰⁰ freien Annahme- variablen sind

u⁰_i:Ai−1(S0) (i >0), v_i⁰⁰:R(0,0,S0),

w_i⁰:∀_zi(R00zi → ∀_zi−1(R0zizi−1 →. . .∀_z0(R0z1z0 → ⊥). . .)).

(b) Man gebe eine Herleitung von⊥aus Hyp₁, Hyp₂undw⁰_i an, deren H¨ohe durch eine in ilineare Funktion beschr¨ankt ist. (Hinweis: Aufgabe 24).

(c) Man folgere aus (b), daß D_i aus Hyp₁, Hyp₂ herleitbar ist, wobei D_i :=∀_{zi,zi−1,...,z0}(R00z_i →R0z_izi−1→. . . R0z₁z₀ → ⊥)→ ⊥.

Was bedeutetD_i intuitiv?

Abgabe. Mittwoch, 16. Dezember 2009, in der Vorlesung.