Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen Helmut Schwichtenberg
Wintersemester 2009/2010 Blatt 5
Ubungen zur Vorlesung¨
”Mathematische Logik“
Aufgabe 17. F¨ur ein zweistelliges RelationssymbolR leite man her: Ist R symmetrisch und transitiv, so istR auch reflexiv auf seinem Feld, also
∀x,y(xRy→yRx)→ ∀x,y,z(xRy→yRz→xRz)→
∀x(∃yxRy∨ ∃yyRx→xRx).
Aufgabe 18. Eine zweistellige Relation R hat die Diamanteneigenschaft wenn aus xRy1 und xRy2 die Existenz eines z folgt mit y1Rz und y2Rz.
R heißt konfluent wenn der reflexive und transitive Abschluß von R die Diamanteneigenschaft hat. Man beweise (informal), daß jede zweistellige Relation R mit der Diamanteneigenschaft konfluent ist.
Aufgabe 19. Wir betrachten (zur Vereinfachung) Herleitungsterme, die nur mit den Regeln f¨ur → aufgebaut sind. Die parallele Reduktion →p ist induktiv definiert durch
u→p u M →p M0 λuM →p λuM0
M →p M0 N →p N0 M N →pM0N0 M(u)→p M0(u) N →pN0
(λuM(u))N →p M0(N0) .
Man zeige die Substitutivit¨at von →p, d.h., daß aus M(~u) →p M0(~u) und K~ →p K~0 folgt M(K~ )→pM0(K~0).
Aufgabe 20. F¨ur HerleitungstermeM wie in Aufgabe 19 definieren wir die vollst¨andige Erweiterung M∗ durch
u∗:=u, (λuM)∗ :=λuM∗,
(M N)∗:=M∗N∗ falls M N keinβ-Redex ist, ((λuM(u))N)∗ :=M∗(N∗).
Man zeige
(a) M →p M0 impliziert M0→p M∗.
(b) Der reflexive und transitive Abschluß→∗ der Einschrittreduktion →ist der reflexive und transitive Abschluß der parallelen Reduktion→p. (c) Die Einschrittreduktion →ist konfluent.
Abgabe. Mittwoch, 25. November 2009, in der Vorlesung.
