Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen Helmut Schwichtenberg
Wintersemester 2009/2010 Blatt 6
Ubungen zur Vorlesung¨
”Mathematische Logik“
Aufgabe 21. Man leite die Peirce-Formel ((P → Q) → P) → P her aus
¬¬P →P und⊥ →Q.
Aufgabe 22. Es seien T ein Baummodell, t ein Term, A eine Formel und η Belegung in|T |. Man zeige, daß auskA[η] und kk0 folgtk0 A[η].
Aufgabe 23. Es seien T ein Baummodell, t ein Term, A eine Formel und η,ξ Belegungen in|T |. Man zeige:
(a) Gilt η(x) =ξ(x) f¨ur alle x∈vars(t), so istη(t) =ξ(t).
(b) Gilt η(x) = ξ(x) f¨ur alle x ∈ FV(A), so gilt T, k A[η] genau dann, wennT, kA[ξ].
Aufgabe 24. Es sei R ein dreistelliges Relationssymbol f¨ur den Graphen der Funktion λy,x(y+ 2x), d.h., Ryxz soll y+ 2x = z ausdr¨ucken. In der Sprache mitR, einer Konstanten 0 und einem einstelligen Funktionssymbol S fixieren wir die Bedeutung von R durch die Annahmen
Hyp1:=∀yR(y,0,Sy),
Hyp2:=∀y,x,z,z1(Ryxz →Rzxz1 →R(y,Sx, z1)).
Sei
A0(x) :=∀y(∀z(Ryxz→ ⊥)→ ⊥),
Ai+1(x) :=∀y∈Ai(∀z∈Ai(Ryxz→ ⊥)→ ⊥),
wobei ∀y∈AiB eine Abk¨urzung ist f¨ur∀y(Ai(y) → B). Die H¨ohe |M| einer
→,∀-Herleitung M ist definiert durch|u|:= 0,|λuM|:=|λxM|:=|M|+ 1,
|M N|:= max(|M|,|N|) + 1, |M r|:=|M|+ 1. Man zeige (a) Hyp1`A0(0).
(b) Hyp2 ` ∀x(Ai(x)→Ai(Sx)) mit einer von iunabh¨angigen Herleitungs- h¨ohe.
(c) Hyp1,Hyp2 ` Ai(0) mit einer konstanten (also von i unabh¨angigen) Schranke f¨ur die Herleitungsh¨ohe.
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L¨osung. (b). Wir verwenden die Annahmevariablen d:Ai+2(x) (wird zweimal verwendet), e1:Ai+1(y),
e2:Ai+1(z), e3:Ryxz, e4:Ai+1(z1), e5:Rzxz1,
w:∀z1∈Ai+1¬R(y,Sx, z1).
Man erh¨alt:
M1 := Hyp2yxzz1e3e5:R(y,Sx, z1) M2 :=wz1e4M1:⊥
M3 :=λz1,e4,e5M2:∀z1∈Ai+1¬Rzxz1 M4 :=dze2M3:⊥
M5 :=λz,e2,e3M4:∀z1∈Ai+1¬Ryxz M6 :=dye1M5:⊥
M7 :=λx,d,y,e1,wM6:∀x(Ai+2(x)→Ai+2(Sx)) (c). Wir verwenden die Annahmevariablen
d:Ai+1(x),
e6:∀z∈Ai+1¬R(x,0, z).
Man erh¨alt:
M1(d) :Ai+1(Sx) nach (b) M2:= Hyp1x:R(x,0,Sx) M3:=e6(Sx)M1(d)M2:⊥
M4:=λx,d,e6M6:Ai+2(0) :=∀x∈Ai+1(∀z∈Ai+1¬Rx0z→ ⊥).
Abgabe. Mittwoch, 2. Dezember 2009, in der Vorlesung.
