Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen Helmut Schwichtenberg Wintersemester 2008/2009 Blatt 11 ¨Ubungen zur Vorlesung ”Mathematische Logik“ Aufgabe 41. µ

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen Helmut Schwichtenberg

Wintersemester 2008/2009 Blatt 11

Ubungen zur Vorlesung¨

”Mathematische Logik“

Aufgabe 41. µ_k<m(g(~n, k) = 0) ist definiert als die kleinste Zahl k < m mitg(~n, k) = 0, falls eine solche existiert, und m sonst. Man zeige, daß mit g auch die Funktion f(~n, m) := µk<m(g(~n, k) = 0) elementar ist. Hinweis.

Man verwende −· und beschr¨ankte Summation.

Aufgabe 42. Man zeige, daß es zu jeder elementaren Funktion f:N^r →N eine Zahl k gibt so daß f¨ur alle ~n=n₁, . . . , n_r gilt

f(~n)<2_k(max(~n)),

wobei 20(m) := m und 2k+1(m) := 2^2k(m). Hieraus folgere man, daß die Funktion n7→2_n(1) nicht elementar ist.

Aufgabe 43. Man zeige, daß die folgenden Funktionen und Relationen elementar sind: b_mⁿc,nmodm,nist Primzahl, p_n (dien-te Primzahl).

Aufgabe 44. Man zeige, daß es inE Funktionenπ, π1, π2 gibt mit (a) π bildet N×N bijektiv aufNab,

(b) π(a, b)<(a+b+ 1)², (c) π1(c), π2(c)≤c, (d) π(π1(c), π2(c)) =c, (e) π₁(π(a, b)) =a, (f) π2(π(a, b)) =b.

Hinweis. Man z¨ahle die Paare nat¨urlicher Zahlen wie folgt auf:

... 6 . . . 3 7 . . . 1 4 8 . . . 0 2 5 9 . . .

Abgabe. Mittwoch, 14. Januar 2009, in der Vorlesung