Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen Helmut Schwichtenberg
Wintersemester 2009/2010 Blatt 2
Ubungen zur Vorlesung¨
”Mathematische Logik“
Aufgabe 5. Eine Sprache L sei gegeben durch eine Konstante 1, zwei 2- stellige Funktionssymbole + und ·, und zwei 2-stellige Relationssymbole <
und =. Man gebe Formeln von L an, die bei der Standardinterpretation dieser Symbole ¨uber den nat¨urlichen Zahlen 0,1,2. . . folgendes ausdr¨ucken.
(a) x ist Primzahl.
(b) x ist unmittelbarer Nachfolger von y.
(c) Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.
(d) x ist gr¨oßter gemeinsamer Teiler vony und z.
Aufgabe 6. Man leite her (a) (A→B)→ ¬B → ¬A, (b) ¬(A→B)→ ¬B,
(c) ¬¬(A→B)→ ¬¬A→ ¬¬B,
(d) (⊥ →B)→(¬¬A→ ¬¬B)→ ¬¬(A→B), (e) ¬¬∀xA→ ∀x¬¬A.
Aufgabe 7. Aus den Einf¨uhrungs- und Beseitigungsregeln f¨ur∨und∃leite man her
(a) A→A∨B,
(b) A∨B →(A→C)→(B →C)→C, (c) A→ ∃xA,
(d) ∃xA→ ∀x(A→B)→B (falls x /∈FV(B)).
Aufgabe 8. Man beweise A → A unter alleiniger Verwendung der →−- Regel aus geeigneten Instanzen der K- und S-Axiome
KAB:A→B →A,
SABC: (A→B →C)→(A→B)→A→C.
Abgabe. Mittwoch, 4. November 2009, in der Vorlesung.
