Mathematisches Institut der LMU Kenji Miyamoto, Helmut Schwichtenberg Wintersemester 2019/20 Blatt 2

Mathematisches Institut der LMU Kenji Miyamoto, Helmut Schwichtenberg

Wintersemester 2019/20 Blatt 2

Ubungen zur Vorlesung¨

”Mathematische Logik“

Aufgabe 5. Eine Sprache L sei gegeben durch eine Konstante 1, zwei 2- stellige Funktionssymbole + und ·, und zwei 2-stellige Relationssymbole <

und =. Geben Sie Formeln von L an, die bei der Standardinterpretation dieser Symbole ¨uber den nat¨urlichen Zahlen 0,1,2. . . folgendes ausdr¨ucken.

(a) x ist Primzahl.

(b) x ist unmittelbarer Nachfolger von y.

(c) Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.

(d) x ist gr¨oßter gemeinsamer Teiler vony und z.

Aufgabe 6. Zeigen Sie, daß die Einf¨uhrungs- und Beseitigungsaxiome f¨ur die Disjunktion

∨⁺₀ :A→A∨B,

∨⁺₁ :B →A∨B,

∨⁻:A∨B →(A→C)→(B →C)→C

¨

aquivalent sind zu den Regeln

|M A ∨⁺₀ A∨B

|M B ∨⁺₁ A∨B

|M A∨B

[u:A]

|N C

[v:B]

|K C ∨⁻u, v C

Aufgabe 7. Geben Sie eine Herleitung an f¨ur

(¬¬A→A)→(¬¬B→B)→ ¬¬(A∧B)→A∧B.

Aufgabe 8. Formalisieren Sie in Minlog die in der Vorlesung angegebenen Herleitungen von

¬¬(A→B)→ ¬¬A→ ¬¬B,

(⊥ →B)→(¬¬A→ ¬¬B)→ ¬¬(A→B),

¬¬∀_xA→ ∀_x¬¬A.

(Eine L¨osungshilfe finden Sie in ueb02.scm auf der Vorlesungsseite. L¨osung bitte als .scm-Datei an Nils K¨opp (koepp[at]math.lmu.de). Bitte nennen Sie Ihre Datei ueb02[Name].scm

Abgabe. Mittwoch, 6. November 2019, in der Vorlesung.