Mathematisches Institut der LMU Nils K¨opp, Helmut Schwichtenberg
Sommersemester 2021 Blatt 7
Ubungen zur Vorlesung¨
”Logik II“
Aufgabe 25. Die Funktion Fib : N→Nsei definiert durch Fib(0) = 0,
Fib(1) = 1,
Fib(S(Sn)) = Fib(Sn) + Fib(n).
Ferner sei L:N→N3 (mitN3 :=N×N×N) definiert durch L(0) = (1,0,1),
L(Sn) = Next(Ln) wobei Next : N3 →N3 definiert ist durch
Next(n1, n2, n3) = (n1+n2, n2+n3, n2).
(a) Beweisen Sie L(n+ 1) = (an+2, an+1, an) mit an:= Fib(n).
(b) Definieren SieL mitRN3
N .
Aufgabe 26. (a) F¨ur die Algebra P := µξ(1 : ξ, S0: ξ → ξ, S1:ξ → ξ) der positiven Zahlen (bin¨ar) definiere man Konstanten PosS : P → P, PosPred :P → P, PosPlus : P → P → P, und PosToNat : P → N durch Angabe von Berechnungsregeln, die dem Nachfolger, dem Vorg¨anger, der Summe und dem Umschreiben inNentsprechen. Die Konstante Double kann verwendet werden.
(b) F¨ur die Algebra L(α) := µξ(Nil : ξ,Cons : α → ξ → ξ) der Listen defi- niere man Konstanten Appd :L(α)→L(α)→L(α), Rev : L(α)→L(α) und FoldL : (α1 → α2 → α1) → α1 → L(α2) → α1 durch Angabe von Berechnungsregeln, die dem Verketten zweier Listen, dem Umdrehen ei- ner Liste und dem
”Falten nach links“ einer gegebenen Liste mit einer 2-stelligen Funktion und einem Anfangswert entsprechen.
Aufgabe 27. F¨ur die Algebra S(α) :=µξ(SCons : α →ξ → ξ) der Str¨ome definiere man Konstanten StrAppd : L(α) → S(α) → S(α), StrProj : N → S(α) →α und StrBar : S(α) →N→L(α) durch Angabe von Berechnungs- regeln, die folgenden Operationen entsprechen.
(i) Anh¨angen einer Liste vorne an einen Strom;
(ii) Finden des n-ten Elements eines Stroms;
(iii) Bilden des Anfangsst¨ucks der L¨angen eines Stroms.
Abgabe. Mittwoch, 16. Juni 2021.
