Mathematisches Institut der LMU Nils K¨opp, Helmut Schwichtenberg
Sommersemester 2021 Blatt 5
Ubungen zur Vorlesung¨
”Logik II“
Aufgabe 17. F¨ur AussagenvariablenP, Qbetrachte man die Formeln PeirceP,Q:= ((P →Q)→P)→P,
EfP :=⊥ →P, StabP :=¬¬P →P.
Geben Sie Herleitungen f¨ur die folgenden Formeln an, und zwar jeweils als Herleitungsbaum und als Herleitungsterm.
(a) StabP →EfQ→PeirceP,Q, (b) PeirceP,⊥→EfP →StabP.
Aufgabe 18. Ein InformationssystemA= (A,Con,`) heißtkoh¨arent wenn es folgende Eigenschaft hat: U ⊆A ist konsistent genau dann, wenn es alle seine zweielementigen Teilmengen sind. Zeigen Sie, daß aus der Koh¨arenz von B die Koh¨arenz von A→B folgt.
Aufgabe 19. Die β-Konversion f¨ur Herleitungsterme ist definiert durch (λuM(u))N 7→β M(N), und die
”Ein-Schritt-Reduktion“ M * N durch (i) WennM 7→β M0, soM * M0.
(ii) Wenn M * M0, so auchM N * M0N,N M * N M0,λvM * λvM0 Ferner sei eine Relation sn(M, k) zwischen TermenM und nat¨urlichen Zah- len kdefiniert durch
sn(M,0) :=M ist in Normalform,
sn(M, k+ 1) := sn(M0, k) f¨ur alle M0 mitM * M0. (Ein Term heißt in
”Normalform“ wenn er keinen Teilterm der Gestalt (λuM(u))Nenth¨alt). Inhaltlich bedeutet sn(M, k) daßkeine obere Schranke f¨ur die Anzahl der Konversionsschritte bis zur Normalform ist.
(a) Beweisen Sie (i) sn(u,0).
(ii) Wenn sn(M, k), so sn(λuM, k).
(iii) Wenn sn(M, k) und sn(N, j), so sn(M N, k+j).
Folgern Sie, daß es f¨ur jeden TermM eine obere Schranke f¨ur die Anzahl der Konversionsschritte bis zur Normalform gibt
(b) Geben Sie einen Algorithmus an, der Derivationen (alsoM ∈Der) nor- malisiert. (Hinweis: SN.)
Abgabe. Mittwoch, 26. Mai 2021.
