Mathematisches Institut der LMU Kenji Miyamoto, Helmut Schwichtenberg
Wintersemester 2019/20 Blatt 1
Ubungen zur Vorlesung¨ ”Mathematische Logik“
Aufgabe 1. Formalisieren Sie folgende Aussagen (∀x: f¨ur alle Mengen x;
x∈y:x ist Element vony;x=y:xist gleich y).
(a) Es gibt eine Menge ohne Elemente.
(b) Zu je zwei Mengen x1, x2 gibt es eine Menge x, deren Elemente genau x1 undx2 sind.
(c) Zu jeder Menge x gibt es eine Menge y, die aus den Elementen aller Elemente vonx besteht.
(d) Zu jeder Mengexgibt es eine Mengey, deren Elemente genau die Teil- mengen von x sind.
Aufgabe 2. Die H¨ohe |A| einer Formel A ist definiert durch |P| = 0 f¨ur atomareP,|A◦B|= max(|A|,|B|)+1 f¨ur bin¨are Operatoren◦(also→,∧,∨) und| ◦A|=|A|+ 1 f¨ur einstellige Operatoren ◦(also∀x,∃x). DieL¨ange||A||
einer FormelAist definiert durch||P||= 1 f¨ur atomareP,||A◦B||=||A||+||B||
f¨ur bin¨ares◦und||◦A||=||A||+1 f¨ur einstelliges◦. Zeigen Sie||A||+1≤2|A|+1.
Aufgabe 3. Geben Sie Herleitungen an f¨ur (a) (A∨B→C)↔(A→C)∧(B →C), (b) (A→B)∨(A→C)→(A→B∨C), (c) A∨B →A∨˜ B,
(d) ∃xA→˜∃xA.
Aufgabe 4. Formalisieren Sie in Minlog die in der Vorlesung angegebenen Herleitungen von
(A→B)→ ¬B → ¬A,
¬(A→B)→ ¬B.
(L¨osungshilfen finden Sie in ueb00.scm und ueb01.scm auf der Vorlesungssei- te. L¨osung bitte als.scm-Datei an Nils K¨opp (koepp[at]math.lmu.de). Bitte nennen Sie Ihre Datei ueb01[Name].scm
Abgabe. Mittwoch, 30. Oktober 2019, in der Vorlesung.
