(1)Mathematisches Institut der LMU Kenji Miyamoto, Helmut Schwichtenberg Wintersemester 2019/20 Blatt 6 Ubungen zur Vorlesung¨ ”Mathematische Logik“ Aufgabe 21

Mathematisches Institut der LMU Kenji Miyamoto, Helmut Schwichtenberg

Wintersemester 2019/20 Blatt 6

Ubungen zur Vorlesung¨ ”Mathematische Logik“

Aufgabe 21. Eine Variante der G¨odel-Gentzen ¨Ubersetzung ist die Kol- mogorovsche negative ¨Ubersetzung ^k. Man erh¨alt A^k, indem man simultan doppelte Negationen vor alle Teilformeln vonAsetzt (einschließlichAselbst;

das Falsum ⊥ kann man auslassen). Induktiv kann man^k definieren durch (R~t)^k :=¬¬R~t f¨urR verschieden von ⊥,

⊥^k :=⊥,

(A◦B)^k :=¬¬(A^k◦B^k) f¨ur◦=→,∧,∨, (∀_xA)^k :=¬¬∀_xA^k,

(∃_xA)^k :=¬¬∃_xA^k. Beweisen Sie

`(A^g ↔A^k).

Aufgabe 22. Es seien T ein Baummodell, t und r(x) Terme, A(x) eine Formel und η eine Belegung in |T |. Beweisen Sie

(a) η(r(t)) =η^η(t)x (r(x)).

(b) T, kA(t)[η] genau dann, wennT, kA(x)[η^η(t)x ].

Aufgabe 23. Es sei T die Menge aller endlichen Folgen h0,0, . . .0i (ein- schließlich der leeren Folge). ¨UberT betrachten wir die konstanten Baummo- delleT := (D, I₀, I₁) mitR^T(~a, k) unabh¨angig vonk. Es seiM:= (D, I₀, I₁^c) mitI₁^c(~a) :=R^M(~a) :=R^T(~a,hi). Man zeige f¨ur alle FormelnA(ohne∨,∃) und alle Belegungen η

T A[η] gdw M |=A[η].

Aufgabe 24. Formalisieren Sie in Minlog die in Aufgabe 11 gefundene Herleitung und erzeugen Sie den Herleitungsterm. (Eine L¨osungshilfe finden Sie in ueb06.scm auf der Vorlesungsseite. L¨osung bitte als.scm-Datei an Nils K¨opp (koepp[at]math.lmu.de). Bitte nennen Sie Ihre Datei ueb06[Name].scm

Abgabe. Mittwoch, 4. Dezember 2019, in der Vorlesung.