Mathematisches Institut der LMU Nils K¨opp, Helmut Schwichtenberg
Sommersemester 2021 Blatt 6
Ubungen zur Vorlesung¨ ”Logik II“
Aufgabe 21. A = (A,ConA,`A), B = (B,ConB,`B), C=(C,ConC,`C) seien Informationssysteme und r ⊆ ConA ×B, s ⊆ ConB ×C approxi- mierbare Abbildungen. Ferner seien f:|A| → |B|und g:|B| → |C|stetig.
Beweisen Sie
(a) s◦r:={(U, c)| ∃V((U, V)⊆rund (V, c)∈s)}ist eine approximierbare Abbildung (wobei (U, V) :={(U, b)|b∈V }).
(b)
|s◦r|=|s| ◦ |r|, g[◦f = ˆg◦f .ˆ
Aufgabe 22. (a) Geben Sie zu der Algebra P := µξ(ξ, ξ → ξ, ξ → ξ) der (bin¨aren) positiven Zahlen mit Konstruktoren 1P, SP0→P,S1P→P das In- formationssystemCP durch seine Bestandteile CP, ConP und `P an.
(b) Wie sind die approximierende AbbildungrSi und die Werte |rSi|(z) der zugeh¨origen stetigen Funktion von |P|nach |P|definiert?
(c) Beweisen Sie, daß|rSi|injektiv ist, und daß die Wertebereiche von|rS0| und |rS1|disjunkt sind.
(d) Geben Sie je ein flaches Informationssystem an, in dem (i) nicht alle Konstruktoren injektiv sind und (ii) die Konstruktoren keine disjunkten Wertebereiche haben. (Beipiel f¨ur ein flaches Informationssystem: die InformationsatomeavonPflach sind alleSi0Si1. . . Sin−11, die konsisten- ten Mengen U alle Einermengen {a} sowie die leere Menge ∅, und die Folgerungsrelation U `aist definiert durcha∈U).
Aufgabe 23. Definieren Sie
(a) die Funktion A:Y → N die jedem bin¨aren Baum t die Anzahl seiner Bl¨atter zuordnet (i) durch Berechnungsregeln und (ii) mitRN
Y,
(b) das unendliche Ideal NatInf vom Typ N (i) durch Berechnungsregeln und (ii) mitcoRN
U.
Abgabe. Mittwoch, 9. Juni 2021.
