Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen Helmut Schwichtenberg
Wintersemester 2008/2009 Blatt 9
Ubungen zur Vorlesung¨
”Mathematische Logik“
Aufgabe 33(Geometrische Formeln). Geometrische Formeln sind definiert durch
G, H ::=P |G∧H|G∨H| ∃xG.
Eine geometrische Implikation hat die Gestalt ∀~x(G→H). Man zeige (a) Jede geometrische Formel ist ¨aquivalent zu einer Formel der Gestalt
∃~x(B1∨ · · · ∨Bn) mit Bi Konjunktion atomarer Formeln.
(b) Jede geometrische Implikation ist ¨aquivalent zu einer Konjunktion von Formeln
∀~x(B → ∃~y(B1∨ · · · ∨Bn)) mitB, Bi Konjunktionen atomarer Formeln.
Aufgabe 34 (Substitutionslemma). Es seien Mein Modell, t, r Terme,A eine Formel und η eine Belegung in|M|. Man zeige
(a) η(r(t)) =ηη(t)x (r(x)).
(b) M |=A(t) genau dann, wennM |=A(x)[ηη(t)x ].
Aufgabe 35. Sei M eine unendliche Menge. Man zeige, daß F := {X ⊆ M |M\Xendlich} ein Filter ist (der Fr´echet Filter aufM).
Aufgabe 36. Eine Wohlordnung ist eine lineare Ordnung≺in der es keine unendlichen absteigenden Ketten a0 a1 a1 . . . gibt. Man zeige, daß
”≺ ist Wohlordnung“ undefinierbar ist. Genauer: gegeben sei eine Sprache mit einem zweistelligen Relationssymbol ≺. Man zeige, daß es keine Menge Γ geschlossener Formeln gibt so daß M |= Γ genau dann, wenn ≺M eine Wohlordnung von |M|ist.
Abgabe. Mittwoch, 17. Dezember 2008, in der Vorlesung.
