Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen Helmut Schwichtenberg Wintersemester 2008/2009 Blatt 5

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen Helmut Schwichtenberg

Wintersemester 2008/2009 Blatt 5

Ubungen zur Vorlesung¨

”Mathematische Logik“

Aufgabe 17. Man zeige, daß aus der starken Disjunktion und dem starken Existenzquantor die schwachen Varianten herleitbar sind, also

(a) A∨B →A∨˜ B, (b) ∃_xA→˜∃_xA.

In beiden F¨allen gebe man den Herleitungsterm an.

Aufgabe 18. Man leite her (B←A meint A→B) (a) (∀_xA→B)← ∃_x(A→B) fallsx /∈FV(B), (b) (A→ ∀_xB)↔ ∀_x(A→B) fallsx /∈FV(A), (c) (∃_xA→B)↔ ∀_x(A→B) fallsx /∈FV(B), (d) (A→ ∃_xB)← ∃_x(A→B) fallsx /∈FV(A).

Aufgabe 19. Man leite die Peirce-Formel ((P → Q) → P) → P her aus

¬¬P →P und⊥ →Q.

Aufgabe 20 (Deduktionstheorem). Im Hilbertkalk¨ul sind nur →⁻ und ∀⁺ als Regeln erlaubt, und als Axiome Generalisierungen folgender Formeln zugelassen:

K_AB:A→B →A,

S_ABC: (A→B →C)→(A→B)→A→C,

∀_xA(x)→A(r),

∀_x(A→B)→A→ ∀_xB falls xnicht frei in A.

Wir schreiben Γ `<sub>H</sub> A wenn A aus Γ im Hilbertkalk¨ul herleitbar ist. Man zeige: Γ ∪ {A} `_H B impliziert Γ `_H A → B. Hinweis: Man verwende Aufgabe 16.

Abgabe. Mittwoch, 19. November 2008, in der Vorlesung.