Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen Helmut Schwichtenberg
Wintersemester 2008/2009 Blatt 3
Ubungen zur Vorlesung¨
”Mathematische Logik“
Aufgabe 9 (Sprachen der Gruppentheorie). (a) Die formale SpracheLsei bestimmt durch ein zweistelliges Funktionssymbol◦und ein zweistelliges Relationssymbol =. Man formalisiere in L: Es gibt ein Element e mit folgenden Eigenschaften: (i) e ist Linkseinheit (d.h., multipliziert man es von links an ein beliebiges Element, so reproduziert sich dieses). (ii) Jedes Element x hat bzgl. e ein Linksinverses, d.h. ein Element y, das von links anx heranmultiplizierteergibt.
(b) Man kann die in (a) implizit geforderte Existenz durch
”Skolemisierung“
in der Sprache explizit machen: L0 sei bestimmt durch die Funktions- symbolee (nullstellig) sowie◦ und g (zweistellig), und ein zweistelliges Relationssymbol =, wobei e eine Linkseinheit und g(x, e) ein Linksin- verses vonx bzgl.ebedeuten sollen. Man formalisiere (i), (ii) aus (a) in L0.
Aufgabe 10. Man stelle die in Aufgabe 3 konstruierten Herleitungen durch Herleitungsterme dar.
Aufgabe 11. Man leite her
(a) (A∧B→C)↔(A→B →C), (b) (A→B∧C)↔(A→B)∧(A→C), (c) (A∨B→C)↔(A→C)∧(B →C),
und gebe in (a) - (c) f¨ur jede der beiden Richtungen→und← jeweils einen Herleitungsterm an.
Aufgabe 12. Man leite her
(a) (⊥ →B)→(¬¬A→ ¬¬B)→ ¬¬(A→B), (b) ¬¬∀xA→ ∀x¬¬A,
(c) (¬¬A→A)→(¬¬B →B)→ ¬¬(A∧B)→A∧B.
Abgabe. Mittwoch, 5. November 2008, in der Vorlesung.
