Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen
Iosif Petrakis, Helmut Schwichtenberg
Wintersemester 2012/2013 Blatt 2
Ubungen zur Vorlesung¨
”Mathematische Logik“
Aufgabe 5. Eine Sprache L sei gegeben durch eine Konstante 1, zwei 2- stellige Funktionssymbole + und ·, und zwei 2-stellige Relationssymbole <
und =. Man gebe Formeln von L an, die bei der Standardinterpretation dieser Symbole ¨uber den nat¨urlichen Zahlen 0,1,2. . . folgendes ausdr¨ucken.
(a) x ist Primzahl.
(b) x ist unmittelbarer Nachfolger von y.
(c) Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.
(d) x ist gr¨oßter gemeinsamer Teiler vony und z.
Aufgabe 6. Man gebe Herleitungen der folgenden Formeln an:
(a) A→B→A,
(b) (A→B →C)→B →A→C, (c) ∀x∀yA→ ∀y∀xA,
(d) ∀x∀yA(x, y)→ ∀xA(x, x).
Aufgabe 7. Man leite her (a) (A→B)→ ¬B → ¬A, (b) ¬(A→B)→ ¬B,
(c) ¬¬(A→B)→ ¬¬A→ ¬¬B,
(d) (⊥ →B)→(¬¬A→ ¬¬B)→ ¬¬(A→B), (e) ¬¬∀xA→ ∀x¬¬A.
Aufgabe 8 (Polnische Schreibweise). Klammerfreie Terme seien wie folgt definiert: Ist f ein k-stelliges Funktionssymbol (k ≥ 0) und sind t1, . . . , tk klammerfreie Terme, so auch f t1. . . tk. Wir verwenden u, v, w als Mittei- lungszeichen f¨ur Zeichenreihen, und schreibenu≺v wennu ein (nicht not- wendig echtes) Anfangsst¨uck von v ist.
Man zeige: Gilt u ≺w und v ≺w und sind u, v klammerfreie Terme, so folgt u=v.
Abgabe. Mittwoch, 31. Oktober 2012, in der Vorlesung.
