Lösungsvorschlag Blatt 3
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Eigenschaften der Funktionen:Allgemeine Vorgehensweise bei Kurvendiskussionen! Kontrolle: Zeichnungen unten
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Zeichnungen:
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
y=fa(x)
y
x
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
y=fb(x)
y
x
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
y=fc(x)
y
x
0 2 4 6 8
0 2 4 6 8
y=fd(x)
y
x
3
Füllhöhe: hier exemplarisches Vorgehen für die Funktion f (x)c Zunächst Berechnung der Fläche unter der Füllkurve:
8 8
3 2 4 3
0 0
1 1 1 1
A ( x x 3) dx 3
36 4 3
1 1
x x x
4 4
6 3
=
− + = − + 8
4 3 4 3
0
1 1 1 1 88
A x x 3 x 8 8 3 8 (FE) 9, 78 (FE)
144 12 144 2 0 9
1
= − + = − + − =
Nach längerem Rütteln:
A 88(FE) 8 LE h
= 9 =
so dass allgemein für alle Füllfunktionen A h=8 LE und speziell für f (x) : c
88FE 9 11
h LE 1, 22 LE
8 LE 9
= =
4
Größte anfängliche Steigung des Oberflächenprofils:
auch hier wieder exemplarisches Vorgehen für die Funktion f (x) c
Als Punkte größter / kleinster Steigung werden zunächst Wendepunkte im sachbezo- genen Definitionsbereich 0 x 8 gesucht (vgl. auch Kurvendiskussionen unter 1.).
Hier müssen aber nun auch zusätzlich noch die Steigungen an den Rändern des Behälters, also y0 =f (x =0) und y8 =f (x =8) untersucht werden.
(Das wird besonders deutlich bei den parabelförmigen Füllfunktionen f (x) und a f (x) , denn Parabeln haben ja gar keinen Wendepunkt.) b
Ableitungen:
3 2
c
1 1
y f (x) x x 3
36 4
= = − + , y f (x)c 1 x2 1 x
12 2
= = − , y f (x)c 1 x 1
6 2
= = −
Wendepunkt:
c
1 1
f (x) 0 x
6 2
= = − und daher xW =3 (hier Verzicht auf Verifizierung)
Die Steigung bei xW =3 erhält man durch Einsetzen in die 1. Ableitung:
2
W c W
3 1 1 43
y f (x x ) 3
12 2 3
= = = = − = −
Steigungen an den Rändern:
2
0 c
1 1
y f (x 0) 0 0
12 0 2
= = = − =
2
8 c
1 1 4
y f (x )
12 2 3
8 8 8
= = = − =
Es kommt hier ganz allgemein nur auf die Beträge an; die größte Steigung haben wir am rechten Behälterrand mit y8 4
= 3.
Der (größte) Steigungswinkel gegenüber der Horizontalen beträgt dann
( 1) max
tan ( )4 53,13 3
= − .
Zum Vergleich noch der Winkel, der bei xW =3 berechnet werden kann:
W
( 1) x 3
tan ( )3 36,87 4
−
= =
