Lösungsvorschläge zu Blatt 5 Aufgabe 5.I Es gibt vier Möglichkeiten von

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Lösungsvorschläge zu Blatt 5

Aufgabe 5.I

Es gibt vier Möglichkeiten vonAnachDzu kom- men:

i. AB, BD ii. AB, BC, CD iii. AC, CD iv. AC, CB, BD Es gilt:

P(AB) = P(BC) = P(CD) = 1−0,3 = 0,7 P(AC) =P(BD) = 1−0,5 = 0,5

Wir verwenden das Ein- und Ausschlussprinzip um P(AD)zu berechnen:

P(AD) = P((AB∩BD)∪(AB∩BC∩CD)∪(AC∩CD)∪(AC∩BC ∩BD))

=P(AB∩BD) +P(AB∩BC∩CD) +P(AC∩CD) +P(AC∩BD∩BD)

−P(AB∩BD∩BC∩CD)−P(AB∩BD∩AC∩CD)

−P(AB∩BD∩AC∩BC)−P(AB∩BC∩CD∩AC)

−P(AB∩BC∩CD∩AC∩BD)−P(AC∩CD∩BC∩BD) +P(AB∩BD∩BC∩CD∩AC) +P(AB∩BD∩BC∩CD∩AC) +P(AB∩BD∩AC∩CD∩BC) +P(AB∩BC∩CD∩AC∩BD)

−P(AB∩AC∩BC∩BD∩CD)

=P(AB)P(BD) +P(AB)P(BC)P(CD) +P(AC)P(CD) +P(AC)P(BC)P(BD)

−P(AB)P(BD)P(BC)P(CD)−P(AB)P(BD)P(AC)P(CD)

−P(AB)P(BD)P(AC)P(BC)−P(AB)P(BC)P(CD)P(AC)

−P(AB)P(BC)P(CD)P(AC)P(BD)−P(AC)P(CD)P(BC)P(BD)

+P(AB)P(BD)P(BC)P(CD)P(AC) +P(AB)P(BD)P(BC)P(CD)P(AC) +P(AB)P(BD)P(AC)P(CD)P(BC) +P(AB)P(BC)P(CD)P(AC)P(BD)

−P(AB)P(AC)P(BC)P(BD)P(CD)

= 0,7·0,5 + 0,7·0,7·0,7 + 0,5·0,7 + 0,5·0,7·0,5

−0,7·0,5·0,7·0,7−0,7·0,5·0,5·0,7

Sommersemester 2013 Vertiefung NWI: Wahrscheinlichkeitstheorie

2

−0,7·0,5·0,5·0,7−0,7·0,7·0,7·0,5

−0,7·0,7·0,7·0,5·0,5−0,5·0,7·0,7·0,5 + 0,7·0,5·0,7·0,7·0,5 + 0,7·0,5·0,7·0,7·0,5 + 0,7·0,5·0,5·0,7·0,7 + 0,7·0,7·0,7·0,5·0,5

−0,7·0,5·0,7·0,5·0,7

= 0,679

Aufgabe 5.II Seien A, B, C ⊂Ωunabhänginge Ereignissse.

a) A und B^c sind unabhängig.

P(A∩B^c) =P(A)·P(B^c|A)

=P(A)·(1−P(B|A))

=P(A)·(1−P(B))

=P(A)·P(B^c)

b) A und B∪C sind unabhängig.

P(A∩(B ∪C)) = P((A∩B)∪(A∩C))

=P(A∩B) +P(A∩C)−P(A∩B∩C)

=P(A)·P(B) +P(A)·P(C)−P(A)·P(B)·P(C)

=P(A)·(P(B) +P(C)−P(B)·P(C))

=P(A)·P(B∪C)

c) A und B∩C sind unabhängig.

P(A∩(B∩C)) =P((A∩B)∩(A∩C))

=P(A∩B) +P(A∩C)−P((A∩B)∪(A∩C))

=P(A)·P(B) +P(A)·P(C)−P(A)·P(B∪C)

=P(A)·(P(B) +P(C)−P(B ∪C))

=P(A)·P(B∩C)

Vertiefung NWI: Wahrscheinlichkeitstheorie Sommersemester 2013