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¨Ubung zur Analysis 1 Blatt 5, L¨osung der Aufgabe 5 Zusatzaufgabe 5. Es sei (a

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Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 5, L¨osung der Aufgabe 5

Zusatzaufgabe 5. Es sei (an)n eine Folge reeller Zahlen (an)n. Es sei (bk)k eine weitere Folge, wobei jedesbk ein H¨aufungspunkt von (an)n sei. Es sei (bk)k selbst eine konvergente Folge. Zeigen Sie, dass auch limk→∞bk ein H¨aufungspunkt von (an)n ist.

L¨osung: F¨ur jedesk und N finden wir einn > N mit |an−bk|<1/k, weil bk ein H¨aufungspunkt ist. Induktiv finden wir somitα(1)< α(2) <· · · mit|aα(k)−bk|<

1/k. Dann konvergiert die Teilfolge (aα(k))kgegen denselben Grenzwert wie (bk)k, also ist letztere ein H¨aufungspunkt von (an)n.

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