Aufgabe 1
Blatt 4, Aufgabe 1: Schwingkreis
t=0 : Wenn zum Zeitpunkt t=0 der Schalter geschlossen wird, entlädt sich der Kondensator über die Spule.
a) Maschenregel: Beim Durchlaufen einer Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null:
hat als Lösung
0 ) ( )
(
0 )
(
0 )
(
0
1
) (
) (
= +
= +
⋅
= +
⋅
= +
t Q t
Q
t Q L
t I L
U U
LC C
t Q
C t Q
C L
&&
&&
&
= 0
∑
iU
i) ( )
(
22
Q t
I t
Q
I = dQ dt = & → & = d dt Q = &&
0 ) ( )
( t + x t =
x && m β
t
e i
Q t
Q ( ) = 0 ω
mit
Federpendel:
t
e i
x t
x ( ) = 0 ω C
L
dt
I = dQ
(t )
Q
b) Welche Größen entsprechen sich gegenseitig?
El. Schwingkreis Federpendel
c) Lösung:
Blatt 4, Aufgabe 1: Schwingkreis
LC C
dt dQ L C
L C
L I Q
t I L U
t C U Q
U U
2 1 1
) (
) (
0
=
=
⋅
=
=
= +
ω
&
m dt dx m
m
m v
x
t v m F
t x F
F F
β β
β
ω β
β
=
=
⋅
=
⋅
−
=
=
2
) (
) (
&
t
e i
Q t
Q ( ) = 0 ω x ( t ) = x 0 e i ω t
Ladung Strom
Frequenz Induktivität Kapazität - 1 Maschenregel
Spannungen
Geschwindigkeit Ort
Frequenz Masse Federkonstante
Newtons Gesetz
Kräfte
C L
dt
I = dQ
(t ) Q
(t )
x β
m
Schwingkreis
Federpendel
Aufgabe 1 a)-c)
Blatt 4, Aufgabe 1: Schwingkreis
d) Beispiel:
C=2μF U 0 =10V L=5μH
kHz
s f
LC 1 ≈ 3 , 16 ⋅ 10 5 1 → = 2 ≈ 50 , 3
= ω π
ω
C V
F U
C
Q 0 = ⋅ 0 = 2 μ ⋅ 10 = 20 μ
Blatt 4, Aufgabe 2: Schwebung
Schwebung entsteht durch Überlagerung zweier Einzel- schwingungen:
gleiche Amplituden: x 1 =x 2 =x 0
Der erste Sinusterm beschreibt die Schwingung mit der Grundfrequenz:
Der zweite Sinusterm ist die Einhüllende. Die (hörbare) Schwebung hat die doppelte Frequenz der Einhüllenden:
Ineinander einsetzen ergibt:
t x
t x
t x t
x t
x ( ) = 1 ( ) + 2 ( ) = 1 sin ω 1 + 2 sin ω 2
(hörbare)
Schwebungsfrequenz f
S( t ) ( t )
x t
t x
t
x ( ) = 0 (sin ω 1 + sin ω 2 ) = 2 0 sin ω
1+ 2 ω
2sin ω
1− 2 ω
2( ) ( ) 2 sin 2
sin 2
sin sin
y x y
x
y x
−
= +
= +
Additionstheorem
Schwingung Einhüllende Math. Frequenz der
Einhüllenden f
ehs eh
S
s
Hz f
Hz f
f Hz
f
1 4
1 4
2
5 , 0 5
, 0 1
400 ,
400
2 1
2 1
=
⇒
=
→
=
=
⇒
=
=
− +
π ω ω
π ω ω ω π
Hz f
Hz
f 1 = 400 , 5 2 = 399 , 5
2
2
1
ω
ω +
2 2 2
2
2
1 S
eh
f
f = ⋅
⋅
− ω = π π
ω
Aufgabe 3
Blatt 4, Aufgabe 3: Fourier-Transformation
ist die Periode der Funktion.
Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Das Fouriertheorem für periodische Funktionen (Periode T) besagt, dass diese entwickelt werden können:
mit Entwicklungskoeffizienten a m und b m gegeben durch
ω π
= 2
T
+A
-A
[ ]
∑ =
+ +
=
1
) sin(
) 2 cos(
) (
m
m
m m t b m t
a t
f a 0 +∞ ω ω
∫
∫ ⋅ = ⋅
= T m T
m f t m t dt
b T dt
t m t
T f
0 0
) sin(
) 2 (
) cos(
)
2 ( ω ω
a
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧
+
<
≤
−
+
<
≤
= +
( ) (
( 2 2
2 2
m t
m A
m t
m t A
f
ω π ω
π ω
π ω
π
(m=...,-2,-1,0,+1,+2,...)
) 1
)
1 2
π ω π ω ω ω
π ω π ω
ω ω π
ω
ω
ω ω
π
π ω π ω π ω
π ω
2 ) 1 cos(
0 ) 1 cos(
) sin(
) 2 (
) sin(
) 2 (
2
2 0
2
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡−
⋅
⎥⎦ −
⎢⎣ ⎤
⎡−
⋅
=
⋅
− +
⋅ +
= ∫ ∫
t m m
t A m m
A
t m A
t m A
b
mDie Rechteckfunktion ist punktsymmetrisch→ a m =0
Blatt 4, Aufgabe 3: Fourier-Transformation
+A
-A
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧
+
<
≤
−
+
<
≤
= +
) 1 (
) ) (
( 2 2 2
2 1 2
m t
m A
m t
m t A
f
ω π ω
π ω
π ω
π
(m=...,-2,-1,0,+1,+2,...)
Die Reihe wird dann:
Bemerkung:
Die Fourierreihe kann auch in komplexer Schreibweise geschrieben werden als
wobei
( + + + K )
= t t t
t
f ( ) 4 π A sin ω 3 1 sin 3 ω 5 1 sin 5 ω
∑ +∞
−∞
=
=
m
t im m e c t
f ( ) ω c m = T T ∫ f t ⋅ i m t dt
0
e )
2 ( ω
⎭ ⎬
⎫
⎩ ⎨
⎧
=
⎥ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎢
⎣
⎡
− +
+
−
⋅
=
−
−
−
−
gerade 0
ungerade
) cos(
) 2 cos(
) 0 cos(
) cos(
4
) 1 2 (
) 1 (
m m
m m
m m b A
m A
m m
m
π
π π
π π
4 8 47 6 4
4 4 8 4
4 4 7 6
4 8
47
6
Aufgabe 4 a)
Blatt 4, Aufgabe 4: ungedämpfte u. gedämpfte Schwingung
a) Zeitlicher Mittelwert der Energie
der zeitliche Mittelwert der potentiellen und kinetischen Energie sind gleich!
) (
cos )
(
sin )
(
2 2
4 2 1
2 2 2
2 1 2
1
2 4
2 1 2
2 2 1
2 1
m A
t A
m t
x m E
A t
A t
x E
E E
E
kin pot
pot kin
β ω
β ω
ω
β ω
β β
=
=
=
=
=
=
=
+
=
&
max max
max max
a m F
a m F
x A
F
⋅
=
⇒
⋅
=
⋅
=
⋅
= β β
t
dt t t
ω ω ω
ωπ
ω π 2
2 1 0
2 2
2
cos sin sin
2
=
=
=
=
∫
2 2
2 1 4
2 1 4
1 A A A
E E
E = kin + pot = β + β = β
A a m ⋅
maxβ =
J A
a m A
E = 1 2 2 = 1 2 ⋅ max ⋅ = 2 , 4
⇒ β
24
24 5
max
sa
mcm A
kg m
=
=
=
b) Also brauchen wir β !
Gleichsetzen:
d)
( ) cos( )
) ( ) (
) sin(
) (
t A
t x t v
t A
t x
ω ω
ω
⋅
=
=
⋅
=
&
Blatt 4, Aufgabe 4: ungedämpfte u. gedämpfte Schwingung
b) Schwingungsdauer und Schwingungsfrequenz Bewegungsgleichung:
c) Gedämpfte Schwingung Bewegungsgleichung:
Lösung:
s A
a A
m a m
m =
max=
max≈ 24 , 5 1
=
⇒ ω β ⋅ ⋅
0 ) ( )
(
0 ) ( )
(
= +
= +
t x t
x
t x t
x m
m β
β
&&
&&
(d)
s T
Hz f
f 0 , 257 9 , 3
1 2
≈
=
≈
= ω π
24
24 5
max
sa
mcm A
kg m
=
=
=
0 ) ( )
( )
(
0 ) ( )
( )
(
= +
+
= +
+
t x t
x t
x
t x t
x b t
x m
m
m b β
β
&
&&
&
&&
) cos(
)
( t = Ae − δ ω t + ϕ
x t
2 2
0 2 , 0
δ ω ω
ω
δ β
−
=
=
=
bm mAufgabe 4 c)
Blatt 4, Aufgabe 4: ungedämpfte u. gedämpfte Schwingung
Amplitudenabnahme
d.h. die Amplitude nimmt pro Periode um ca. 95,2% ab.
Energieabnahme
Die Energie des Systems nimmt also pro Periode um ca.
99,77% ab.
( )
( )
( ) 0 , 048
436 , 0 19 , 0
81 , 0 9
, 0
9 , 0
19 , 0 2 9
, 2 0 19 , 0
0 0
2 0 2
0 2
2 0 2
0 0
≈
=
=
=
≈
=
⇒
=
=
−
=
⋅ −
⋅
− − +
π π ω
δ ω
ω ω
δ
ω ω
δ ω
ω
e e
e T
t A
T t A
( )
( ) + t = e − δ T ( T = 2 π ω )
A T t A
9 0 , 0
1
0 0
1 0
max
9 , 0
257 , 0
5 , 24 24 4 5
2
T T
s T
a
cm A
kg m
s s
m
⋅
=
⋅
=
=
=
=
=
=
ω ω
ω
( )
( ) ( )
( ) ( ) 2 ≈ 0 , 0023
= +
+
t A
T t A t
E
T
t
E
a) Bewegungsgleichung
b) Allg. Lösung der hom. DGL:
(siehe Aufg. 4)
Spez. Lösung der inhom. DGL:
Allg. Lösung der inhom. DGL:
c) Die Lösung der homogenen DGL klingt exponentiell ab. für
lange Zeiten (t>1/δ)überwiegt die spez. Lösung der inhom. DGL.
Das System wird also nach ausreichend langer Zeit (Einschwingen) mit der Erregerfrequenz schwingen.
) (
2 )
( 1
)
0( )
( )
( t = x h t + x p t = A e − δ t e i ω t + ϕ ′ + A e i ω
Et + ϕ x
Blatt 4, Aufgabe 5: Erzwungene Schwingungen
Erregung
) cos(
)
( t F 0 t
F E = ω E cos( ) 0
cos
0
0
=
− +
+
+
−
−
=
t x
x x
t) (ω F
x x
b x
m
m E F m
m b
E
ω β
& β
&&
&
&&
) (
1
)
0( = − δ t i ω t + ϕ ′
h t A e e
x
) (
) 2
( = i ω t + ϕ
p t A e
Ex
m m
b ω β
δ = 2 , 0 =
(t )
x β
m
)
0 cos( t
F ω E
Aufgabe 5 d)
Blatt 4, Aufgabe 5: Erzwungene Schwingungen
d) Ansatz:
Einsetzen in Bewegungsgleichung:
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
) 2 ( 0
cos 2
sin ) (
) 1 ( 0
sin 2
cos )
(
0 ) sin(
sin cos
2 sin
) cos(
cos sin
2 cos
0 )
cos(
sin ) sin(
cos ) cos(
sin ) cos(
cos ) sin(
2 sin
) sin(
cos ) cos(
0 ) cos(
) cos(
) sin(
2 )
cos(
2 2 0
2 2
2 2 0
2 0 2 2
2 2
2 0 2 2
2 2
2 0 2
2 2
2
2 0 2 2
2 2
0
0 0
0
= +
−
=
−
−
−
=
−
− +
− +
−
−
=
−
− +
+
−
−
−
=
− + +
+
− +
−
ϕ δω
ϕ ω
ω
ϕ ω
δ ϕ ω
ω
ω ϕ
ω ϕ
δω ϕ
ω
ω ϕ
ω ϕ
δω ϕ
ω
ω ϕ
ω ϕ
ω ω
ϕ ω
ϕ ω
δω ϕ
ω ϕ
ω ω
ω ϕ
ω ω
ϕ ω
δω ϕ
ω ω
E E
m F E
E
E E
E
m E F E
E
m E F E
E
E E
E E
E E
m E F E
E E
E E
A A
t A
A A
t A
A A
t t
t A
t t
A t
t A
t t
A t
A t
A
Additionstheoreme
Ordnen nach cos(ω Ε t) und sin(ω Ε t)
Diese Gleichung muss für alle t erfüllt sein, d.h. ( ) müssen 0 werden.
) cos(
) (
) sin(
) ( ),
cos(
) (
2 2
2 2
ϕ ω
ω
ϕ ω
ω ϕ
ω
+
−
=
+
−
= +
=
t A
t x
t A
t x t
A t
x
E E
E E
E
&&
&
Die Schwingung hinkt dem Erreger hinterher!(d.h. ϕ<0)
2 2 0
2 cos
sin tan
) 2
(
EE
ω ω
δω ϕ
ϕ = ϕ = − −
⇒
-3,14 0
0 0,5 1 1,5 2 2,5
ωE/ω0 ϕ δ=0,1
δ=0,01
) sin(
) cos(
) cos(
) sin(
) sin(
) sin(
) sin(
) cos(
) cos(
) cos(
y x
y x
y x
y x
y x
y x
⋅ +
⋅
= +
⋅
−
⋅
=
+
Blatt 4, Aufgabe 5: Erzwungene Schwingungen
( )
2 2
2 2 0
2 2 0 0
2 2
2 2 0
0
0 2
2 0
) 2 ( ) 2 (
) 2 ( ) (
2 2
2 2 2 2 2
0
cos sin
0 sin
2 ) sin (
) (
E E
m E F
E E
m E F E
E
A A
A
A
E FmE
δω ω
ω
ω ω
δω ω
ω
δω δω
ω ω
ϕ ϕ
ϕ ω
δ ϕ
ω ω
+
−
− +
−
−
=
−
=
⇒
=
−
−
⋅
−
−
ϕ ϕ ω δω ω sin cos = − 2
02−
2⋅
E
Amplitude: (2):
Ein (1) einsetzen:
Analog:
2 2
2 2 0
0
) 2 ( ) 2 (
E E
m
A
Fδω ω
ω − +
=
1 cos
sin
2x +
2x =
e) Maximale Leistungsaufnahme besteht für den Fall, dass die anregende Kraft und die Geschwindigkeit des Pendels
immer in die gleiche Richtung zeigen ( und sind „in Phase“):
) cos(
) sin(
) ( )
( : für
) sin(
) ( )
( )
cos(
) (
2
2 v t x t t t
t t
x t
v t
t F
x F v
F P
E E
E E
ω ω
ϕ
ϕ ω
ω
π
π = ∝ − =
−
=
+
∝
=
∝
⋅
=
⋅
=
r &
r
r &
r r
r &
r r r
0 0,5 1 1,5 2 2,5
ωE/ω0 A2
δ=0,01 δ=0,1 δ=0,3
F r
x r
&
Aufgabe 5 f)
Blatt 4, Aufgabe 5: Erzwungene Schwingungen
f) Maximale Amplitude
Die maximale Amplitude ist erreicht, wenn der Nenner in
minimal wird.
2 2
2 2 0
0
) 2 ( ) 2 (
E E
m
A
Fδω ω
ω − +
=
[ ]
2 2
0
2 ! 2
2 0 2
2 2 2
0
2
0 8
) 2 )(
( 2 )
2 ( ) (
δ ω
ω
ω δ ω
ω ω
δω ω
ω ω
−
=
= +
−
−
= +
−
E
E E
E E
d d E
E
0 0,5 1 1,5 2 2,5
