Musterlosung
Ubungsblatt 11 19.01.05
1 a)
Von K aus gesehen:
Zur Zeit t=t
1
: Autobei x
1 ,
zur Zeit t=t
2
>t
1
: Autobeix
2
<x
1 , (x
1 x
2
)=v(t
2 t
1
)vT .
Bei x=0 inK: Laufzeit der Lihtblitze:
1. Blitz kommt zur Zeit t 0
1
=(t
1 +
x1
) an;
2. Blitz kommt zur Zeit t 0
2
=(t
2 +
x2
)=(t
1
+T + x2
)an;
) Blitzintervallbeix=0:
T 0
=t 0
2 t
0
1
=T + 1
(x
2 x
1
)=T (1 v
)
\Bewegte Uhren gehen langsamer":
T =
T
0
p
1 v 2
= 2
>T
0
) T
0
=T
0
1 v=
p
1 v 2
= 2
=T
0 s
1 v=
1+v=
) !
0
0
=!
0 s
1+v=
1 v=
b)
Wellenfront inK: =kx !t;
Wellenfront inK 0
: 0
==k 0
x 0
! 0
t 0
.
Lorentztransformationder Koordinaten x;t von K nah K 0
(Blatt10unten):
x 0
=(x vt) ; t 0
=(t vx
2
) ; =
1
p
1 v 2
= 2
Phase inK 0
:
0
=k 0
x 0
! 0
t 0
=k 0
(x vt) ! 0
(t vx
2
)=(k 0
+! 0
v
2
)x (k 0
v+! 0
)t
Gleihsetzen mit=kx !t liefert
k =(k 0
+ v!
0
2
) ; ! =(!
0
+k 0
v)
Dies lat sih nah k 0
;! 0
auosen,
) k
0
=(k v!
2
) ; ! 0
=(! kv)
Die Transformation k;!!k 0
;! 0
ist analogzu der vonx;t, dieRuktransformation ist(wie auh
bei x;t) durh v ! v gegeben. Man sagt: (
!
;k) bildet einen \4er-Vektor", da er das gleihe
2 a)
Im System K
D
=Erde: Thomas brauht fur den Hinug zum Planetenin 8 Lihtjahren
Entfernung, von Dieteraus gesehen, dieZeit x
v
=
8Jahre
0:8
=10Jahre.Bis zum Umkehrpunkt
ist also Dieter, nah seiner Uhr, um T
D
=10Jahre
alter geworden, bei der Landung also2T
D
=
20Jahre.
Im System K
T
=Raumshi: \Bewegte Uhren gehen langsamer",also
T
D
=T
T
; =
1
p
1 v 2
= 2
=
1
p
1 (0:8) 2
= 1
0:6
) T
T
=0:6T
D
=6Jahre
Also istThomas bei der Landung um (nur) 12Jahre gealtert.
Ein Paradoxon konnte sih ergeben, wenn man Dieter als relativ zu Thomas bewegtes Bezugs-
system betrahtet. Dannmuten sih die Werte fur die vergangene Zeit von Dieter und Thomas
gerade austaushen, also einen Widerspruh ergeben! Allerdings bendet sih Thomas nur zeit-
weise, namlih niht in den Beshleunigungsphasen, ineinem Inertialsystem.
b)
Da jeder nah der eigenen Uhran jedem Jahrestag einen Blitz absendet, sind dies fur
Dieter: Hinugphase: 10Blitze,Rukugphase: 10Blitze;
Thomas: Hinugphase: 6Blitze, Rukugphase: 6Blitze;
(Den Dopplereekt brauhtman erst in), sorry.)
)
Thomasempfangt nah Doppler(bzw. Aufg. 1)die Impulse von Dietermit einerRate von
0
= s
1 v=
1+v=
1
Jahr
= r
1 0:8
1+0:8 1
Jahr
= r
1
9 1
Jahr
= 1
3 1
Jahr
Bis zum Umkehrpunkt nah 6 (Thomas-) Jahrenkommen also2 Impulse beiihman.
Danah, biszur Landung, empfangt Thomas die(Geistes-)Blitze vonDietermit der Rate
0
= r
1+0:8
1 0:8 1
Jahr
= 3
Jahr
er sieht also in den zweiten 6 Jahren seiner Reise 18 Blitze von Dieter. Insgesamt hat Thomas
damit 20 Blitzeerhalten; genau soviel, wie vonDieter gesendet (!).
Dieter empfangt von Thomaswahrend der Hinugphase mit der Rate
00
= 1
3 1
Jahr
Die6Impulse,dieThomasbiszumUmkehrpunktabsendet,sindalsonah36=18Dieter-Jahren
auf der Erde angekommen.Anders gesehen: Am Umkehrpunkt shikt Thomas den letztender 6
Impulselos,derfurdieStrekevon8Lihtjahreneben8Jahrebrauht(inDietersBezugssystem),
AbdemUmkehrpunktgehenThomas'ImpulsemitderRate 00
=3=JahrbeiDieterein,dasheit,
Dieter empfangt in den restlihen 2 Jahren bis zur Landunggerade 23Impulse, also allein der
Rukugphase gesendeten. Insgesamt wurden alsoalle12 gesendeten Impulse auh empfangen.
Die Verteilungder Impulseauf Hin-und Rukug maht dieAsymmetrie der Bezugssysteme von
Dieter und Thomas deutlih. Es \fehlt" auh keine Zeit, alle gesendeten Impulse sind ja bis zur
Landungangekommen.Manbeahte,dawegenjvj<alleImpulseinderReihenfolgeempfangen
werden, in der sie gesendet wurden (Kausalitat).
3
Zunahst: welhe Geshwindigkeitu ist imParkplatz-System K die rihtige?
u=
u
x
u
y
; u
y
=
2
u
x
ist jetzt egal, das Paket wird fruher oder spater K 0
2
treen. Wenn juj = 3
4
vorgegeben sein
soll, folgt
juj 2
=u 2
x +u
2
y
) u
x
= p
(3=4) 2
(1=2) 2
= p
5
4
Furu 0
im Sysytem K 0
1
des Werfers brauhen wir das Additionstheorem:
u 0
y
= u
y v
1 u
y v=
2
=
=2+=2
1+
2
2 1
2
= 4
5
u 0
x
= u
x
1 u
y v=
2 r
1 v
2
2
=u
x p
1 (1=2) 2
1+1=4
=u
x 4
5 r
3
4
= r
3
20
Das ergibt den Betrag und dieRihtung (Winkel zur x-Ahse)
ju 0
j= p
0:79=0:9 ; tan( ) = u
0
y
u 0
x
= 8
p
15
Hatte man naivdie Geshwinigkeiten addiert, mute K 0
1 mit u
0
y
= werfen, der Betrag von u 0
wurde damit ubersteigen!
