Hauptachsentransformation
Durch eine DrehungU und Verschiebung v,ξ 7→x =Uξ+v, kann eine Quadrik Q imRn auf Diagonalform transformiert werden:
Q: xtAx+ 2btx+c = 0 →
m
X
k=1
λkξk2+ 2˜btξ+γ = 0 mit mdem Rang der symmetrischen n×n-MatrixA. Dabei ist
b˜t= (0, . . . ,0) f¨ur m=n (kein Eigenwert 0 ) und 2˜btξ = 2βξm+1,βγ= 0 f¨ur m<n.
Die Spalten der DrehmatrixU enthalten normierte Eigenvektoren uk zu den Eigenwerten λk von A, und die Geradengk : x =v+tuk werden als Hauptachsen bezeichnet. Der Verschiebungsvektorv ist der Mittelpunkt der Quadrik.
Durch Skalierung erh¨alt man eine der Normalformen Q :
m
X
k=1
σk ξk2
ak2 = 1 (m≤n) oder
Q:
m
X
k=1
σk
ξk2
a2k = 2ξm+1 (m<n)
je nachdem, obA maximalen Rang hat undβ oderγ Null ist. Dabei ist σk ∈ {−1,1} und ak >0 sind die Hauptachsenl¨angen.
Beweis
Bestimmung von U und v durch sukzessive Variablentransformationen (i) Drehung:
At=A =⇒
∃ orthonormale Basis aus Eigenvektoren uk mit det(u1, . . . ,un) = 1 Substitution x=Uy = (u1, . . . ,un)y Diagonalform
0 = ytUtAU
| {z }
diagonal
y+ 2btUy+c
= ytdiag(λ1, . . . , λm,0, . . . ,0)y+ 2(Utb
|{z}
b˜
)ty+c
Ist m+ 1<n (Eigenwert 0 mit Vielfachheit>1, seltener Fall), so ist die Basis {um+1, . . . ,un} f¨ur den EigenraumV0 so gew¨ahlt, dass ˜bk = 0 f¨ur k >m+ 1.
W¨ahle dazu f¨ur eine gegebene Basis {u˜m+1, . . . ,u˜n} vonV0 eine (n−m)×(n−m)-Drehmatrix ˜U, so dass
U˜
˜ utm+1
˜ utm+2
...
˜ utn
| {z }
=W
bm+1
bm+2 ... bn
=
b˜m+1
0 ... 0
.
Die Zeilen utm+1, . . . ,utn vonW bilden dann die gew¨unschte Basis.
(ii) Verschiebung:
Quadratische Erg¨anzung f¨urk ≤m (λk 6= 0):
yk =ξk −b˜k/λk
=⇒ λkyk2 =λkξk2−2ξkb˜k+ ˜bk2/λk, 2˜bkyk = 2˜bkξk −2˜b2k/λk
Summation f¨urk = 1, . . . ,m Elimination der linearen Terme und Anderung der Konstante¨
c → −γ =c−
m
X
k=1
b˜k2/λk
m=n (RangA=n, kein Eigenwert 0):
Q:
n
X
k=1
λkξk2 =γ
x =U(ξ−(˜b1/λ1, . . . ,b˜n/λn)t
| {z }
y
) v=−U(˜b1/λ1, . . . ,b˜n/λn)t)
m<n (Eigenwert 0 mit Vielfachheit n−m):
Q :
m
X
k=1
λkξk2+ 2˜bm+1ym+1=γ
Falls ˜bm+1 = 0, keine weitere Verschiebung, d.h.ξk =yk, k =m+ 1, . . . ,n, und v =−U(˜b1/λ1, . . . ,b˜m/λm,0, . . . ,0)t) Falls ˜bm+1 6= 0, so wird γ durch Setzen von
ym+1=ξm+1+γ/(2˜bm+1) eliminiert:
Q :
m
X
k=1
λkξk2+ 2βξm+1 = 0, β= ˜bm+1.
v =−U(˜b1/λ1, . . . ,b˜m/λm,−2γ/b˜m+1,0, . . . ,0)t)
(iii) Skalierung:
Division durch γ oder −β Normalformen Q :
m
X
k=1
σkξ2k
a2k =γ, σk/a2k =λk/γ (m≤n), oder
Q:
m
X
k=1
σk
ξk2
a2k = 2ξm+1, σk/a2k =−λk/β (m<n).
Beispiel
Normalform der Quadrik
Q : 5x12+ 5x22+ 5x32+ 6x1x2+ 8x2x3+ 2x2 = 0
(i) Matrixschreibweise:
Q : xtAx + 2btx+c = 0 mit
A=
5 3 0 3 5 4 0 4 5
, b=
0 1 0
, c = 0
beachte:a1,2x1x2+a2,1x2x1 = 6x1x2 =⇒ a1,2=a2,1 = 3, etc.
(i) Eigenwerte von A:
charakteristisches Polynom
5−λ 3 0
3 5−λ 4
0 4 5−λ
= (5−λ)3−16(5−λ)−9(5−λ) = (5−λ)((5−λ)2−25)
Eigenwerteλ1 = 10,λ2= 5, λ3 = 0 (iii) Eigenvektoren:
0 0 0
=
5−10 3 0
3 5−10 4
0 4 5−10
u1 =⇒ u1 k
3 5 4
analog
u2 k(4,0,−3)t, u3 k(3,−5,4)t
Determinante der Matrix aus normierten Eigenvektoren
3/√
50 4/5 3/√ 50 5/√
50 0 −5/√
50 4/√
50 −3/5 4/√ 50
Sarrus= − 80 250− 45
250− 45 250− 80
250 =−1 Multiplikation eines Eigenvektors (z.B.u2) mit−1 Drehmatrix (Determinante = 1 )
U = 1 5
3/√
2 −4 3/√ 2 5/√
2 0 −5/√ 2 4/√
2 3 4/√ 2
(iv) Diagonalisierung:
x =Uy
Q : ytUtAUy + 2btUy = 0 mit
UtAU = diag(10,5,0), btU = (0,1,0)U = (1/
√
2,0,−1/√ 2), d.h. Q : 10y12+ 5y22+√
2y1−√
2y3 = 0
(v) Verschiebung, quadratische Terme:
10y12+√
2y1= 10(y1+√ 2/20
| {z }
ξ1
)2−10(√ 2/20)2
| {z }
1/20
,y2=ξ2
Q : 10ξ21+ 5ξ22−√
2y3−1/20 = 0 (vi) Verschiebung, linearer Term:
−√
2y3−1/20 =−√
2(y3+ 1/(20√ 2)
| {z }
ξ3
)
Q : 10ξ12+ 5ξ220−√
2ξ3 = 0 (vii) Skalierung:
Multiplikation mit √
2 Normalform
10√
2ξ12+ 5√
2ξ22 = 2ξ3
p √ p √
(viii) Transformation:
x =Uy =U(ξ−(√
2/20,0,1/(20√
2))t) mit dem Verschiebungsvektor
v = 1 5
3/√
2 −4 3/√ 2 5/√
2 0 −5/√ 2 4/√
2 3 4/√ 2
| {z }
U
−√ 2/20 0
−1/(20√ 2)
= 1 5
1 20
−3−3/2
−5 + 5/2
−4−4/2
=− 1 200
9 5 12
