0, so dass B(ξ, R

J. Wengenroth SS 2009

D. Sieg 28.05.2009

Grundlagen der Funktionentheorie Ubungsblatt 3¨

U 11¨

Seien Ω ⊆ C offen, f ∈ H(Ω), ξ ∈ Ω und R > 0, so dass B(ξ, R) ⊆ Ω. Zeigen Sie f¨ur γ : [0,2π]→C,t7→ξ+Re^it den Cauchyschen Integralsatz R

γ

f(ζ)dζ = 0.

(Tipp: Betrachten Sieg(z) = (z−ξ)f(z)) U 12¨

Seien f, g ∈H(B(ξ, R)) mit f(ξ) = g(ξ) = 0. Charakterisieren Sie mit Hilfe der Nullstel- lenordnungen max{n∈N:f⁽ⁿ⁻¹⁾(ξ) = 0} die Existenz von lim

z→ξ f(z) g(z). (Tipp: Man kann (z−ξ)^m ausf

”ausklammern“) U 13¨

Seienf_n∈H(Ω) mitf_n→f gleichm¨aßig in Ω, das heißt

∀ε >0 ∃N ∈N ∀n≥N, z ∈Ω |f_n(z)−f(z)|< ε.

Zeigen Sief ∈H(Ω) und, dassfn^(k)→f^(k) gleichm¨aßig in Ω f¨ur alle k∈N0.

(Tipp: Wie fast immer hilft die Cauchysche Integralformel f¨urfnauch f¨ur die Ableitungen.) U 14¨

Sei f ∈ H(C), so dass f¨ur eine ¨uberabzahlbare Menge von Entwicklungspunkten ξ jeweils mindestens ein Koeffizient in der Reihenentwicklung f(z) =

∞

P

n∈N

an(z−ξ)ⁿ verschwindet.

Zeigen Sie, dassf ein Polynom ist.

(Tipp: a_n=?, Identit¨atssatz f¨ur eine geeigente Ableitung f⁽ⁿ⁾.) U 15¨

Es gibt fl¨achenf¨ullende Kurven, die das Intervall [0,1]surjektivauf die Kreisscheibe abbilden (so genannte Peano-Kurven, Sie brauchen deren Existenz hier nicht zu beweisen). Zeigen Sie, dass es keine bijektive Kurve [0,1]→Dgeben kann.

(Tipp: Die Umkehrabbildung einer stetigen Bijektion zwischen kompakten Mengen ist ste- tig.)