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1. Sei F : V → W linear und bijektiv. Man zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung F

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Ubungsblatt 05 - Lineare Algebra - WS 2012/13 ¨ (Glowatschnig, Waltl, Gomez-Rocha, Hopfer, Windisch)

1. Sei F : V → W linear und bijektiv. Man zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung F

−1

: W → V linear ist.

2. Sei F : V → W linear und v

1

, . . . , v

n

eine Basis von V . Man beweise, dass ImF = Span(F (v

1

), . . . , F(v

n

)) .

3. Gegeben sei F : R

3

→ R

3

durch F(x

1

, x

2

, x

3

) = (x

1

+ 2x

2

, x

2

− x

3

, x

1

+ 2x

3

) . Man bestimme Basen von ImF und KerF und verifiziere die Dimensionsformel.

4. Unter Verwendung der Dimensionsformel bestimme man zuerst KerF und danach ImF von F : P

3

→ P

2

wobei F (a

0

+ a

1

t + a

2

t

2

+ a

3

t

3

) = a

1

− a

0

+ a

2

t + a

3

t

2

.

5. Sei F : C

2

→ C

2

gegeben durch F(z

1

, z

2

) = ( − iz

2

, iz

1

) . Man bestimme Basen von ImF und KerF .

6. Man berechne A · B wobei A =

( 3 1 2 0 6 1 − 1 1

)

und B =

 

 1 3 2 0

− 3 1 4 1

 

 .

7. Man berechne das Produkt der Matrizen (

x

1

x

2

) ( a b b c

) ( x

1

x

2

) .

8. Man bestimme den Koordinatenvektor von v = (4, 3, − 2) ∈ R

3

bez¨ uglich der Basis

(1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0) .

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