r w w w w w w w w f f w f w f w w w w w f f w f f f w w w w w f w f w w w f f w w w w f f f w w w r w w w f w w w w w f f w f f w f w w w w w w f f w f w w f w w f w w w f w f f w f w f f w f w w w f f f f w w w A(p,q,r) B(p,q,r) Aufgabe 1

Aufgabe 1

a) A(p,q,r) B(p,q,r)

p q r ^p∧¬^q (^p∧¬q) ^{r ¬q∨r p} (^¬q∨r) w w w f w w w w w f f w f f w f w w w w w w f f w f w w f w w f w w w f w f f w f w f f w f w w w f f f f w w w

b)

Damit A(p,q,r) notwendig für B(p,q,r) ist, muss die Aussage ^B(^p,q,r) ^A(^p,q,r) ^erfüllt

sein. Dies ist lediglich für die vierte Zeile der Tabelle (p=w, q=f, r=f) nicht der Fall. Diese Belegung der Variablen muss folglich ausgeschlossen werden.

p q r ^A(^p,q,r) ^B(^p,q,r) ^B(^p,q,r) ^A(^p,q,r) ^A(^p,q,r)^⇔B(^p,q,r)

w w w w w w

w w f f w f

w f w w w w

w f f w f f

f w w w w w

f w f w w w

f f w w w w

f f f w w w

Aufgabe 2

Aufgabe 3

a) ^f(n)(x)=( ) ( )⁻¹ⁿ⁻¹( )^{xn+−21n! für alle n ≥ 1.}

Beweis: (vollständige Induktion) Induktionsanfang:

x x

f = +

2 ) 1

(' _,

( ) ( )^{1 0!2 1 12 '( )}

)

( ⁰ ₁

) 1

( f x

x x x

f =

⋅ + + =

−

= .

Induktionsvoraussetzung: Für ein n∈IN(n≥1)gelte ^f(n)(x)=( ) ( )⁻¹ⁿ⁻¹( )^xn+−21!n.

Induktionsbehauptung: Dann gilt auch: ^f(n+1)(x)=( ) ( )^{−1n x+n2!n+1.}

Induktionsbeweis:

( ) (

^{( ) ( ) ( )}

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )^{1 2! . . .}

2

! 1 1

1

2

! 1 1

2 '

! 1 ' 1

) ( )

(

1

1 1

1 1

) 1 ( )

1 (

d e x q

n

x n n

x n n

x n

x f x f

n n

n n

n n

n n n

n

+

−

−

−

−

−

−

− + −

− +

=

+

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

−

=

+

⋅

−

⋅

−

−

=

+

−

−

=

= 1.

x x x

x

e e x

e x

x f

e x

x f

⋅

⋅ +

⋅

=

=

) cos(

) sin(

2 ) ( '

) sin(

) (

2 2

(Produktregel, Kettenregel)

2.

x x

x x x x

g

x x x x g

ln 1 1 ln

1 1 ln

1 ) ( '

ln )

(

=

− +

=

−

⋅ +

⋅

=

−

=

(Produktregel)

3.

( ^x ) ^x ( )^ex

x

x x x x

h x h

x x

x x

x x x

x

e

e e

x ^x

ln 1

ln ln 1 1 )

( '

) (

ln

ln ln

= +

=

ç ö è

æ ⋅ + ⋅

=

=

=

=

(Kettenregel, Produktregel)

b) Die Taylorreihe einer beliebig oft differenzierbaren Funktion f mit Entwicklungspunkt x0

hat die allgemeine Form

Durch Einsetzen von x0 = 0 und Vorziehen des ersten Summanden ergibt sich:

Mit der soeben bewiesenen Formel für f⁽ⁿ⁾erhält man:

c) Nach dem Wurzelkriterium gilt für den Konvergenzradius R einer Potenzreihe der Form , also gilt:

Die Taylorreihe hat den Konvergenzradius 2, ist also konvergent für x <2sowie divergent für x >2. Das Konvergenzverhalten in den Randpunkten 2 und -2 muss gesondert betrachtet werden:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )¹ _ln2 ( )¹ _.

2 ln

2 2 1 1

2 2 ln

1 2 2

ln ) 2 (

1

1 2

1

1

1

1 1

1 0

,

∞

=

∞ −

=

+

−

∞

=

∞ −

=

−

+ −

− =

⋅ +

=

⋅

− − +

− =

− +

=

−

n

n

n

n n

n n

n n n

n n

n n

f

n n

n T n

( )^{−12n−1 =−1}, da 2n-1 eine ungerade Zahl ist. Folglich gilt:

∞

=

∞

=

−

=

−

1 1

0 ,

. 1 2 1

ln ) 2 (

n n

f n n

T ist die harmonische Reihe, die bekanntlich divergent ist.

( ) _ln2 ( )¹ _.

2 1 2

2 ln ) 2 (

1

1

1

1 0

,

∞

=

∞ −

=

− = + −

− +

=

n

n

n n

n n

f n n

T

( )

∞

=

− − 1

1 1 n

n

n ist als alternierende harmonische Reihe konvergent.

0 ,

Tf konvergiert also im Intervall ]^−2,2], außerhalb hingegen nicht.

( ) ^.

! ) ) (

( ₀

0

0 ) ( , ₀

n n

n x

f x x

n x x f

T = ^∞ −

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )¹ ₂ ^{. . .}

2 ln

2 0

!

! 1 1

0 2 ln ) (

1

1 1

1 0

,

d e n q

x n x x n

T

n n

n n

n

n n

n f

∞

=

−

∞

=

−

− +

=

+ ⋅

− − + +

=

! . ) 0 (

! 0

) 0 ) (

(

1 ) ( 0

0 ,

n n

n

f x

n x f

x f

T = ⋅ + ^∞ ⋅

=

( )

n n n n

n n n

n

n a n

R a x

a 2

. 1 lim

: 1

1

= −

=

∞

→

∞

=

( ) ^{2lim 2 1 2.}

2 lim 1

1 2

lim 1 1 2

lim 1

1 = = = = ⋅ =

= −

∞

→

∞

∞ →

∞ →

→

n n

n n

n n n

n n

n n

n n

n n n

n R

Aufgabe 4

a) ^fn ^x _n( )^{nx f}n ^x _n1cos( )^{nx n} cos( )^nx

) ( ' sin ,

)

( = = ⋅ =

(Die Funktionen f_n sind um den Faktor n in x- und y-Richtung gestaucht, die Ableitungen sind nur in x-Richtung gestaucht.)

b) ç ( )^ö

è

= _→∞æ

∞

→ nx

x n fn n

n 1sin

lim ) ( lim

( )^nx _n

IN n n IR

x 1

1sin

: ≤

∈

∀

∈

∀ , da ^sin( )^{nx ≤1.}

Daraus folgt: ^{lim ( ) lim}ç^1sin( )^{ö=lim1 =0}

è

= _→∞æ _→∞

∞

→ nx n

x n

fn n n

n .

Somit konvergiert die Funktionenfolge( )fn punktweise gegen die Funktion f mit 0

) (x =

f .

( )^fn konvergiert auch gleichmäßig gegen die Nullfunktion.

Beweis:

Seiε >0^undN:= ù êêé1 +1

ε .

Für alle n≥N (n∈IN)gilt offensichtlich ε

>1 n .

. alle

für )

( ) (

0 ) 1sin(

) 1 sin(

1

IR x x

f x f n nx n nx

n

n − < ∈

⇔

<

−

⇔

<

<

⇔

ε ε ε ε

’ ^sin(nx⁾ ≤¹für allex∈IR^.

’¹ >⁰ n q.e.d.

c) Da f_n'(0)=cos(n⋅0)=cos0=1 für alle n∈INgilt, ist auch limn_→∞ fn'(0)=1. )

0 ( ' lim 0 ) 0 (

' _n

n f

f = ≠ →∞ .

Somit konvergiert die Funktionenfolge ( )^fn' nicht für allex∈IRgegen die Nullfunktion '

f .