W = W el + W vibr + W rot

FreieUniversitätBerlin-Fachbereich Physik-Arnimallee14,14195Berlin

A07 Optische Messungen am

OH-Radikal am 4. Juni 2007

1 Ziele des Versuchs

Die Messmethode ermöglicht dieBeobachtung eines Emissionsspektrums, wodurch phy-

sikalische Daten eines Moleküls gewonnen werden können, welche in der Technik bzw.

Forschung benötigtwerden.

2 Physikalische Grundlagen des Versuchs

2.1 Born-Oppenheimer-Näherung

Die Born-Oppenheimer-Näherung wird zurBeschreibung eines Mehrkörperproblemsge-

nutzt, wobei die Bewegung der Kerne und der Elektronen als unabhängig voneinander

angesehenwird.DieKernebesitzenimVerhältniszudenElektroneneinesehrgroÿeMas-

se,siebesitzenalsoeinevielgröÿereTrägheit alsdieElektronen.Diesbedeutet,dassdie

Elektronen sichvielschnellerbewegenalsdie Kerne,also auchdieElektronenverteilung

derKernbewegung instantan folgen kann.Inerster Näherung können wirdieBewegung

derKerne vernachlässigen (S.4

[2]

^{).Wirkönnen dieW}ellenfunktion ineineElektronen- und Kernwellenfunktion aufteilen, wobei einsetzen in dieSchrödingergleichung eine Lö-

sungliefert,dieden Überlegungender klassischen Mechanik entsprechen. Die klassische

MechanikbenutztdasBildderHantel,welche auszweidurch eineFederkraftverbunde-

nenMassenpunkten besteht.DieBewegung derKerne setztsichalsoindieserNäherung

zusammen aus einer Schwingung der Kerne gegeneinander unter dem Einuss des Po-

tentials, wobeiderSchwerpunkt stehen bleibt,einer Rotation umden Schwerpunkt und

einer Translation des Schwerpunktes. Diese Kernbewegung wird noch durch die Elek-

tronenbewegung überlagert. Für die Gesamtenergie der Molekülbewegung erhalten wir

dann:

W = W ^el + W ^vibr + W ^rot + W ^trans .

Fürdie optischenMessungen interessieren uns nur dieinneren Bewegungen desMole-

küls,daher gilt

W ^trans = 0

^unddieGesamtenergieergibt sich mit:

W = W ^el + W ^vibr + W ^rot

wobei

W ^ei

^die Elektronenenergie (Energie der Elektronenhülle),

W ^vibr

^{die Schwin-}

gungsenergie der Kerne und

W ^rot

^die Rotationsenergie der Kerne darstellen. Es gilt für die Übergänge

∆W ^el ∆W ^vib ∆W ^rot

^{, wobei die Übergänge der} Elektronen- energieim sichtbaren Bereich

(eV )

^{,die Übergänge der} Schwingungen im infraroten Be- reich

10 ⁻² eV

^bis

10 ⁻¹ eV

und die Übergänge der Rotationen im Mikrowellenbereich

10 ^{− 4} eV

liegen.

2.2 Rotationsenergie zweiatomiger Moleküle

2.2.1 StarreHantel

Wir betrachten das Modell der starren Hantel, für diese gilt der Hamiltonian:

H =

1

2 Θ e ω ² = _2Θ ^{J 2} _e

⁽

ω

Winkelgeschwindigkeit der Rotation,

Θ e

^Trägheitsmoment,

J = Θ e ~ ω

Drehimpuls)FürdieEigenwerte derRotationsenergiendetmanmitHilfederSchrödin-

gergleichung:

W ^rot = W (J ) = ~ ²

2Θ _e J (J + 1)

mit der Drehimpulsquantenzahl

J = 0, 1, 2, . . .

^{, die} Rotationsquanten ergeben sich dann alsdieAbstände

W (J + 1) − W (J ) = _2Θ ^{~ 2} _e (J + 1)

^.

2.2.2 Unstarre Hantel

DieRotationsenergiezweiatomigerMolekülewirdmitdemModelleinerunstarrenHantel

beschrieben. Im Gegensatz zu einer starren Hantel wirdhierbei eine Fliehkraftdehnung

beachtet. Die Rotationsterme erhält man durch Reihenentwicklung nach Potenzen von

J (J + 1)

^{undDivisiondurch}

hc

^{,wobeimansichalsBildvorstellt,dassdieunstarreHan-}

tel eine Serie von starren Hanteln mit wachsemdem Abstand durchläuft, dann nehmen

aber deren Energien mit wachsendem

J

^{ab, da das mit dem} Kernabstand verbundene Trägheitsmoment imNennerderEnergienderstarrenHantelstehtundmitwachsendem

Kernabstand dasTrägheitsmoment wächst:

W (J )

hc = F (J) = B _e J (J + 1) − D _e [J (J + 1)] ²

mit der Rotationskonstanten

B _e = _4πcΘ ^~ _e = _4πcmr ^~ 2 e

und einer Dehnungskonstanten

d e

hc = D _e B _e

^.

Das Rotationsspektrum ist gegeben durch die strahlenden Übergänge zwischen zwei

Rotationstermen, wobei beim ÜbergangeinLichtquant der Wellenzahl:

˜

ν = F J ⁰

− F J ⁰⁰

⇒ ν ˜ (J ) = F (J + 1) − F (J) = 2B _e (J + 1) − 4D _e (J + 1) ³

emittiert oder absorbiert wird. Die Übergänge folgen den Drehimpuls-Auswahlregeln

∆J = ±1

⁽

∆M = 0

^für

π

-Polarisation bzw.

∆M = ±1

^für

σ

-Polarisation).

EineRotationkannnurfürMolekülemiteinemDipolmomentangeregtwerden.Hierbei

wird imelektrischen Feld derpositive Ladungsschwerpunkt zumnegativen Polund der

MolekülzurRotation zwingt. Hierfürgelten diebereitsoben erwähntenAuswahlregeln,

wobei

∆J = 0

^{,wennderDrehimpulsinder}Molekülachseliegt.MankanndieÜbergänge weiterklassizieren:

∆J = −1

^P-Zweig

∆J = 0

^Q-Zweig

∆J = +1

^R-Zweig

2.3 Vibrationsenergie zweiatomiger Moleküle

Die Atome innerhalbdesMoleküls besitzeneine elastische Bindung,dahersind Schwin-

gungen möglich. Das zugrunde liegende Potential wird gut durch das Morse-Potential

beschrieben:

V = D _Diss 1 − e ^{− a∆R} 2

mit

D _Diss

^derDissoziationsenergieunddermolekülspezischenKonstante

a = q

m 2D Diss ω _e

^,

mit derSchwingungsfrequenz

ω e

^{.Lösen der}Schrödingergleichung mit diesem Potential undEntwicklung desanharmonischen Oszillators nachPotenzen von

v + ¹ ₂

und teilen

durch

hc

^liefert:

W (v) hc = ω _e

v + 1

2

− x _e ω _e

v + 1 2

2

+ y _e ω _e

v + 1 2

3

±

^...

mit den Anharmonizitätsfaktoren

y _e x _e 1

^{. Da die Terme höherer Ordnung ex-}

perimentellkaumnoch zubestimmensind, reicht meist dieBetrachtung biszurzweiten

Ordnung aus, wobei

x _e = _4D ^{~ ω}

Diss

ist.Es können Obertöne:

∆v = 0, ±1, ±2, . . .

angeregt werden, deren Intensitäten sichwie:

1 : x _e : x ² _e : . . .

verhalten.

2.4 Kopplung von Rotation und Schwingung

Wie wir oben gesehen haben, ist die Bewegung des Kerns eine Überlagerung aus Ro-

tation und Schwingung. Diese sind jedoch nicht unabhängig voneinander, da während

einer Rotation mehrere Schwingungen, auf Grund der höheren Frequenz der Schwin-

gung,durchgeführt werden. D.h. dieRotation sieht einen gemittelten Kernabstand,aus

dem ein mittleres Trägheitsmoment folgt. Hieraus folgen neue Schwingungs- und Deh-

nungskonstanten:

B v = ~

4πc hΘ (v)i = B e − α

v + 1 2

D _v = D _e + β

v + 1 2

Die Schwingung wird auch von der Rotation beeinusst, wobei die Schwingungsfre-

quenzdurch diesichmit derFederkraftüberlagerndeFliehkraft verändert wird.Diesist

jedoch auf Grunddesgeringen Einusses zu vernachlässigen.

Wirerhaltensomit für dieRotationsschwingungsterme:

T (v, J) = G (v)+F (v, J) = ω e

v + 1

2

−x e ω e

v + 1

2 2

+B v J (J + 1)−D v [J (J + 1)] ² .

Es wird das Rotationsschwingungsspektrum emittiert oder absorbiert, welches die

Spektrallinien:

˜

ν = T v ⁰ , J ⁰

− T v ⁰⁰ , J ⁰⁰

enthält. Für die elektrische Dipolstrahlung sind nur die Übergänge erlaubt, die die

Auswahlregeln

∆J ⁰ − J ⁰⁰ = ±1

^und

∆v = v ⁰ − v ⁰⁰ = 0, ±1, ±2, . . .

erfüllen. Für

∆v = 0

^{erhalten wir das reine} Rotationsspektrum in einem Schwin- gungszustand der Quantenzahl

v = v ⁰ = v ⁰⁰

^{. Für}

J ⁰ = J ⁰⁰ = 0

^{würden wir die reinen}

Schwingungsübergänge erhalten, da jedoch die Übergangsregel

J ⁰ − J ⁰⁰ = ±1

^hierdurch

verletzt würde,sindreine rotationsfreie Schwingungsübergänge nicht beobachtbar.

2.5 Elektronenenergie zweiatomiger Moleküle

Die Zustände des zweiatomigen Moleküls werden durch verschiedene Kopplung (z.B.

Russel-Saunders-Kopplung) der verschiedenen Drehimpulse erzeugt. Wir denieren die

folgenden Quantenzahlen:

Λ = |M L | = 0, 1, 2, . . . , L

^{, Die} Einzeldrehimpulse

~l _i

^{koppeln zum Gesamt-}

bahndrehimpuls

L ~

^{.Für dieProjektionauf die}

z

^{-Achse mit den} Eigenwerten

L _z = M _L ~ = ±Λ ~

,ist dieQuantenzahl

Λ

^.

Für

Λ > 0

^{erzeugt die}Elektronenbewegung ein achsenparalleles Magnetfeld, welches auf den Gesamtspin

S

ein Drehmoment ausübt, so dass

S

um die

z

^-Achse (Molekülachse) präzediert und die Projektion

S z

^{einen der}

2S + 1

Werte

S _z = M _S ~ = Σ · ~

mit

Σ = M _S = S, S − 1, . . . , −S

^annimmt.

Σ

^ist

somit ganz oderhalbzahlig.

Der gesamte Elektronendrehimpuls um die

z

^{-Achse ist also gegeben durch}

J _z = L _z + S _z = (M L + M _S ) ~

,mit

M _L > 0

^{gilt auch}

J _z = (Λ + Σ) ~

.

DieMultiplettkomponentenbeiMolekülenwerdendurchdieSymbole

2S+1 Λ _Ω

gekennzeichnet, wobeifür

Λ

^dieSymbole

Σ, Π, ∆, . . .

^{benutztwerdenundfür}

dieIndizes dieZahlenwerte.

Dienichtnegative Quantenzahl

Ω = |Λ + Σ|

^desgesamtenElektronendrehim- pulsesfolgt ausderSpin-Bahn-Kopplung (

L ~ − S ~

^).

Der DrehimpulsderHantel ist

N ~

Mit dem Drehimpuls der Elektronenhülle und

N ~

^{erhalten wir den Gesamt-}

drehimpuls

J ~ = ~ Ω + N ~

2.6 Kopplung von Rotation und Elektronenspin (Hundsche Kopplungsfälle

a und b)

2.6.1 Hundscher Kopplungsfall a(Der symmetrischeKreisel)

In diesem Fall wird

Λ > 0

vorausgesetzt. Diese Kopplung tritt hauptsächlich bei star- ker Spin-Bahn-Kopplung auf, diese ist bei schweren Kernen am besten realisiert. Man

kann wieder das Modell der Hantel heranziehen, wobei dieses nun um ein Elektronen-

schwungrad (in diesem Fall die Elektronenhülle) ergänzt werden muss. Wir erhalten

somit einen Körper mit rotationssymetrischen Trägheitsellipsoiden. Es kommt zu einer

langsamen Nutation der Molekülachse um den Gesamtdrehimpuls

J ~

^{. Besonders häug}

trittdieserFallbeilangsamen

2 Σ

^und

² Π

^{Zuständen auf.}

2.6.2 Hundscher Kopplungsfall b (Schwache Spin-Kopplung)

In diesem Fall wird

Λ = 0

^{und keine} Spin-Bahn-Kopplung angenommen. Verwendung ndeter auch für

Λ > 0

^{,sofern die}Multiplett-Aufspaltung gering ist, dies istbeileich- ten Kernen realisiert. In diesem Fall koppeln zuerst die Drehimpulse

L _z

^und

N

von Elektronenbahn undKernrotation zueiner resultierenden

K

zuder sichdann inzweiter Näherung

S

einstellt, so dass

J = K + S

der Gesamtdrehimpuls ist. Dies entspricht ei- nerlangsamen Präzession von

K

und

S

um

J

, währenddie Molekülachse schnell um

K

nutiert.

2.7 Auswahlregeln (symmetrischer Kreisel)

FürÜbergänge elektrischerDipolstrahlung gelten folgende Auswahlregeln:

Für denGesamt-Drehimpulsgilt streng dieRegel

∆J = J ⁰ − J ⁰⁰ = 0, ±1

auÿer

J ⁰ = J ⁰⁰ = 0

^.

pulsdie Bahnauswahlregel

∆Λ = ±1

und dasInterkombinationsverbot

∆Σ = 0

Es sind für Moleküle mit beliebigen Kernladungen nur Übergängezwischen positiven

und negativen Rotationsniveaus erlaubt

+ ↔ −

Bei Molekülen mit gleichen Kernladungen, deren Elektronenzustände für sich alleine

schon die

(g, u)

^-Parität

(−1) ^π

^{besitzen, sind alle Übergänge zwischen allen Rotations-}

Schwingungsniveauszweier Elektronenterme gleicherParitätverboten:

g ↔ u

2.8 Fortrat-Parablen

DieParabelnerhält man, indem mandieWellenzahlen derLinien eines Vibrationsüber-

gangesüber

J

^aufträgt.

2.9 Messgleichungen

Wirnutzen dieAuswahlregeln

∆J = ±1

∆v = 0, ±1

∆Λ = 0, ±1

innerhalbder HauptzweigeP,Q, R.Esergeben sich folgendeMessgleichungen:

P ₁ (K) = F ₁ (K − 1) − f ₁ (K) P ₂ (K) = F ₂ (K − 1) − f ₂ (K) Q ₁ (K) = F ₁ (K − 1) − f ₁ (K) Q ₂ (K) = F ₂ (K − 1) − f ₂ (K) R ₁ (K) = F ₁ (K + 1) − f ₁ (K) R ₂ (K) = F ₂ (K + 1) − f ₂ (K)

Für dieRotationsenergien des

2 Σ

^{-Zustand nden wir aus}

[6]

^:

F ₁ (K) = B _v ^Σ K (K + 1) − D _v ^Σ K ² (K + 1) ² + R

K + 1 2

F ₂ (K) = B _v ^Σ K (K + 1) − D _v ^Σ K ² (K + 1) ² − R

K + 1 2

Für dieRotationsenergien des

2 Π

^{-Zustand nden wiraus}

[6]

^:

f ₁ (K) = B ^Π _v

(K + 1) ² − 1 − 1 2

q

4 (K + 1) ² + a (a − 4)

− D _v ^Π K ² (K + 1) ² , J − 1 2 = K f ₂ (K) = B ^Π _v

K ² − 1 + 1 2

p 4K ² + a (a − 4)

− D ^Π _v K ² (K + 1) ² J + 1 2 = K

Wirbetrachtenden

Q

^-Zweig

(∆J = 0)

^{und den Übergang}

Q ^v _1,2 ^{0 → v 00}

^mit

J = K + ¹ ₂

^:

Q ^v ₁ ^{0 → v 00} (J) = ω ^Σ ₀

v ⁰ + 1

2

− ω ^Π ₀

v ⁰⁰ + 1 2

+ ∆B J + J ²

Wirkönnen

ω ₀ ^Σ

^und

ω ₀ ^Π

^{ausden Übergängenim}

Q

-Hauptzweig bestimmen:

Q ^0→0 ₁ (J) − Q ^0→1 ₁ (J) = ω ₀ ^Σ

2 − ω ^Π ₀ 2

− ω ^Σ ₀

2 − 3ω ^Π ₀ 2

= ω ^Π ₀ Q ^1→0 ₁ (J) − Q ^0→0 ₁ (J) =

3ω ^Σ ₀ 2 − ω ₀ ^Π

2

− ω ^Σ ₀

2 − ω ₀ ^Π 2

= ω ^Σ ₀

Aus

R ₁ (K) − P ₁ (K) = F ₁ (K + 1) − F ₁ (K − 1)

= 2B _v ^Σ (2K + 1) − 4D ^Σ _v 2K ³ + 3K ² + 3K + 2

+ R (2K + 1)

folgt mit derNäherung

B _V ^Σ D _v ^Σ , R

^{mit kleinen}

K

^:

B _v ^Σ ≈ R ₁ (K) − P ₁ (K) 2 (2K + 1) .

Für groÿe

K

^und

B ^Σ _V R

^folgt:

D _v ^Σ ≈ R ₁ (K) − P ₁ (K) + 2B _v ^Σ (2K + 1) (2K + 1) ³ + 3 (2K + 1)

Man erhält

B _v ^Π

^für

B _v ^Π D ^Π _v

^{und kleine}

K

^:

R ₂ (K − 1) − P ₂ (K + 1) + R ₁ (K − 2) − P ₁ (K )

= 8B _v ^Π K − 8D ^Π _v K 2K ² + 3

⇒ B _v ^Π = 1

8K [R ₂ (K − 1) − P ₂ (K + 1) + R ₁ (K − 2) − P ₁ (K)]

Die Molekülkonstanten

α ^Σ,Π

^und

B ^Σ,Π

^{erhält manüber:}

α ^Σ,Π = B ₁ ^Σ,Π − B ₀ ^Σ,Π B ^Σ,Π = 1

2

3B ₀ ^Σ,Π − B ₁ ^Σ,Π

3 Versuchsaufbau und Messprinzip

3.1 Quellen

Eine Quecksilberdampf-Lampe ermöglicht über das bekannte Quecksilberspektrum die

Eichung desMonochromators.

Der Resonator mit Wasserdampf (H

2

^{O) dient als Quelle für das} Emissionsspektrum derOH-Radikale, wobei durcheinen HochspannungspulseineAbspaltung eines Wasser-

stoatomsvomOH-Teilchen erreicht wird.

3.2 Detektor

Wirbenutzeneinen Monochromator umdie Wellenlängenskala abzufahren, wobei diese

aus einer Skala in Skalenteilen über eine Umrechnung (Eichung durch Hg) bestimmt

werden kann.

3.3 Schaltbild

WirerhaltenausdemandenMonochromatorangeschlossenenPhotomultipliereinSignal,

welchesübereinenMessverstärkerandenPCweitergeleitetwirdunddortvomMesspro-

gramm Labview aufgezeichnet wird. Dieses Signal kann über die Stärke des Hochspan-

nungsgerätvariiertwerden, wobeihierbeidieBeschleunigungsspannung derDynodenim

Photomultiplier variiert wird.

3.5 Versuchsdurchführung

Nachdem man die OH-Radikale erzeugt hat, kann man ein violettes Glühen erkennen.

Wir können nun über die Kurbel des Monochromators bzw. den elektrischen Antrieb

die Wellenlängenbereiche der P,Q,R Zweige abfahren, wobei die Peaks in Labview auf-

gezeichnet werden. Zur Zeiteichung setzen wir einige Marker wobei wir zu diesen den

Skalenteilaufschreiben,umspätereineEichungvonder ZeitskalaüberdieSkalenteilska-

la zur Wellenlängenskala zu ermöglichen, von der wir dann über die Wellenzahl unsere

Molekülkonstanten bestimmenkönnen.

4 Auswertung

a) Eichung des Monochromators

Die Eichung wirdmit Hilfe derHg-Linien undeiner graphischen Auftragung

λ

^Å

= (0.54596 (30) · S (

^Skt

) + 144.9 (1.6))

^Å

bestimmt.

Wir können eine Zeit-Skala-Eichung aus den Markern für die gemessenen Spektren

(lineare Regression angewendet aufdieDaten) erhalten:

0011 : S (

^Skt

) = (0.231600 (87) · t (s) + 5335.962 (56))

^Skt

10 : S (

^Skt

) = (0.231810 (72) · t (s) + 4881.235 (35))

^Skt

01 : S (

^Skt

) = (0.23191 (15) · t (s) + 6005.434 (79))

^Skt

Setzen wirdiesinunsere Wellenlängen-Skala-Eichung ein, sonden wir:

0011 : λ

^Å

= (0.54596 (30) · [(0.231600 (87) · t (s) + 5335.962 (56))

^Skt

] + 144.9 (1.6))

^Å

10 : λ

^Å

= (0.54596 (30) · [(0.231810 (72) · t (s) + 4881.235 (35))

^Skt

] + 144.9 (1.6))

^Å

01 : λ

^Å

= (0.54596 (30) · [(0.23191 (15) · t (s) + 6005.434 (79))

^Skt

] + 144.9 (1.6))

^Å

Diesliefert uns eineneue Eichung zwischen Wellenlängen undZeit:

0011 : λ

^Å

= (0.126444 (85) · t (s) + 3058.1 (2.3))

^Å

10 : λ

^Å

= (0.126559 (80) · t (s) + 2809.9 (2.2))

^Å

01 : λ

^Å

= (0.12661 (11) · t (s) + 3423.6 (2.5))

^Å

Die Aufnahme wird in drei Messreihen durchgeführt, wobei

0 → 0

^und

1 → 1

^{in der}

gleichen Messreihe aufgenommen wird. Nachdem die Peaks zugeordnet sind werden sie

sortiertundinTabellenangeordnet,soaufbereitetlassensichleichtdieFortrat-Parabeln

inc) erstellen.

c) Fortrat Diagramme

Wirerhaltenausden Messungen dievierFortratparabeldiagramme:

Um eine nachvollziehbare Auswertung zu ermöglichen dokumentieren wir einige Zwi-

schenergebnisse, wobei wir zum einen die Wellenlänge der Übergänge betrachten und

zum anderendie Wellenzahl

k = ¹ _λ

^{.Wir arbeiten hierfür die Aufgabenauf demzusätz-}

lichen Aufgabenblatt (

[2]

^{) ab, wobei wir uns an der} Nummerierung orientieren, jedoch nicht andieBezeichnungen halten.

k Q ₁ (0 → 0)

^/Å

Q ₁ (0 → 0)

^/

cm ⁻¹ Q ₁ (0 → 1)

^/Å

Q ₁ (0 → 1)

^/

cm ⁻¹ ω ^Π (k)

^/

cm ⁻¹ 1 3078.6 ± 3.2 (32483 ± 33) 3459.2 ± 4.0 (28909 ± 33) (3574 ± 6) 2 3080.1 ± 3.2 (32466 ± 33) 3460.8 ± 4.0 (28895 ± 33) (3571 ± 6) 3 3081.6 ± 3.2 (32450 ± 33) 3462.3 ± 4.0 (28883 ± 33) (3567 ± 6) 4 3083.2 ± 3.2 (32434 ± 33) 3463.7 ± 4.0 (28871 ± 33) (3563 ± 6) 5 3085.0 ± 3.2 (32415 ± 33) 3465.2 ± 4.0 (28858 ± 33) (3557 ± 6) 6 3087.0 ± 3.2 (32394 ± 33) 3466.8 ± 4.0 (28845 ± 33) (3549 ± 6)

WirbenutzenzurBerechnungderletztenSpalte

ω ^Π = Q ₁ (k) (0 → 0)− Q ₁ (k) (0 → 1)

^,

wobeiwirkleine

k

^{verwenden, dadieFormeleineNäherung für kleine}

k

^darstellt.

Die Fehler unterscheiden sich erstab derdrittenmarkantenStelle, daherbesitzendie

Werte gerundet alle denselben Fehler.

Wir beziehen die ersten 4 Werte in der Mittelwertbildung ein, da der nächste Wert

jeweilsca.imhalbenFehler desvorangegangenen liegt,erst der5.Werterfülltdiesnicht

mehr und liegt im ganzen Fehler, wobei der 6. Wert bereits nicht mehr im Fehler des

vorangegangenenWerts liegt.Somit ergibt sichein Wertvon:

ω ^Π (k) = (3568.8 ± 2.5) cm ^{− 1}

wobeiderFehler ausderStandardabweichung bestimmt wurde.

DenFehlerderEinzelmesswerteerhaltenwirausdemFehlerderUmrechnungvonSKT

nachWellenlängen undZeit nachSKT.

2.

k P ₁ (0 → 0)

^/Å

P ₁ (0 → 0)

^/

cm ⁻¹ R ₁ (0 → 0)

^/Å

R ₁ (0 → 0)

^/

cm ⁻¹ B ₀ ^Σ (k)

^/

cm ⁻¹ 1 3081.7 ± 3.2 (32449 ± 33) 3071.8 ± 3.2 (32554 ± 33) 17.50 ± 0.03 2 3086.1 ± 3.2 (32404 ± 33) 3070.0 ± 3.2 (32574 ± 33) 17.00 ± 0.03 3 3090.7 ± 3.2 (32355 ± 33) 3068.1 ± 3.2 (32593 ± 33) 17.00 ± 0.03 4 3095.6 ± 3.2 (32304 ± 33) 3066.6 ± 3.2 (32609 ± 33) 16.94 ± 0.03 5 3101.2 ± 3.2 (32246 ± 33) 3065.4 ± 3.2 (32622 ± 33) 17.10 ± 0.03 6 3106.7 ± 3.2 (32188 ± 33) 3064.4 ± 3.2 (32633 ± 33) 17.12 ± 0.03 7 3112.1 ± 3.2 (32133 ± 33) 3063.7 ± 3.2 (32640 ± 33) 16.90 ± 0.03 8 3117.3 ± 3.2 (32079 ± 33) 3063.2 ± 3.2 (32645 ± 33) 16.65 ± 0.03 9 3123.6 ± 3.2 (32014 ± 33) 3063.1 ± 3.2 (32646 ± 33) 16.63 ± 0.03

DieBerechnungderletztenSpalteerfolgtüber

B ₀ ^Σ (k) = _2(2k+1) ¹ (R ₁ (k) (0 → 0) − P ₁ (k) (0 → 0))

für kleine

k

^{,auf GrundderNäherung.}

Wir vernachlässigen die Ausreisser für die Mittelwertbildung, wobei dies

k = 1, 8, 9

sind. Hierausergibt sich:

B ₀ ^Σ (k) = (17.01 ± 0.04) cm ^{− 1}

wobei wir den Fehler aus der Standardabweichung benutzen und die Messwertfehler

vernachlässigen.

k P ₁ (1 → 1)

^/Å

P ₁ (1 → 1)

^/

cm ⁻¹ R ₁ (1 → 1)

^/Å

R ₁ (1 → 1)

^/

cm ⁻¹ B ₁ ^Σ (k)

^/

cm ⁻¹ 1 3138.0 ± 3.2 (31868 ± 33) 3128.3 ± 3.2 (31966 ± 33) 16.33 ± 0.04

2 3142.3 ± 3.2 (31824 ± 33)

^{- - -}

3 3147.0 ± 3.2 (31776 ± 33) 3125.0 ± 3.2 (32000 ± 33) 16.00 ± 0.04 4 3152.2 ± 3.2 (31724 ± 33) 3123.6 ± 3.2 (32014 ± 33) 16.11 ± 0.04 5 3158.0 ± 3.2 (31666 ± 33) 3122.5 ± 3.2 (32025 ± 33) 16.32 ± 0.04

6 3164.0 ± 3.2 (31610 ± 33)

^{- - -}

7 3168.9 ± 3.2 (31557 ± 33) 3121.3 ± 3.2 (32038 ± 33) 16.03 ± 0.04 8 3174.8 ± 3.2 (31498 ± 33) 3121.2 ± 3.2 (32039 ± 33) 15.91 ± 0.04 9 3181.3 ± 3.2 (31434 ± 33) 3121.3 ± 3.2 (32038 ± 33) 15.89 ± 0.04

DieBerechnungderletztenSpalteerfolgtüber

B ₁ ^Σ (k) = _2(2k+1) ¹ (R ₁ (k) (1 → 1) − P ₁ (k) (1 → 1))

für kleine

k

^{,auf GrundderNäherung.}

Wirbetrachtenalleberechneten

B ₁ ^Σ (k)

^WertefürdieMittelwertbildung.Hierausergibt sich:

B ₁ ^Σ (k) = (16.08 ± 0.07) cm ^{− 1}

wobei wir den Fehler aus der Standardabweichung benutzen und die Messwertfehler

vernachlässigen.

4.

k P ₁ (0 → 0)

^/Å

P ₁ (0 → 0)

^/

cm ⁻¹ R ₁ (0 → 0)

^/Å

R ₁ (0 → 0)

^/

cm ⁻¹ D ₀ ^Σ (k)

^/

cm ⁻¹ 6 3106.7 ± 3.2 (32188 ± 33) 3064.4 ± 3.2 (32633 ± 33) −0.0012 7 3112.1 ± 3.2 (32133 ± 33) 3063.7 ± 3.2 (32640 ± 33) 0.00096 8 3117.3 ± 3.2 (32079 ± 33) 3063.2 ± 3.2 (32645 ± 33) 0.00249 9 3123.6 ± 3.2 (32014 ± 33) 3063.1 ± 3.2 (32646 ± 33) 0.00208 10 3130.4 ± 3.2 (31944 ± 33) 3063.2 ± 3.2 (32645 ± 33) 0.00144 13 3150.6 ± 3.2 (31740 ± 33) 3065.7 ± 3.2 (32619 ± 33) 0.00200

WirbetrachtennurdenFehlerausderStandardabweichung,dadiesesehrgroÿistund

andereFehler somit vernachlässigt werdenkönnen.

Die Molekülkonstante

D ^Σ ₀ (k)

^{in Näherung für groÿe}

k

^{ergibt sich mit}

D ₀ ^Σ (k) =

1 (2k+1) ³ +3(2k+1)

P ₁ (k) (0 → 0) − R ₁ (k) (0 → 0) + (4k + 2) B ₀ ^Σ

.

Leider haben wirnur

k = 10

^und

k = 13

^für

P ₁

^mit

k ≥ 10

dokumentiert, womit eine genaue Auswertung nicht möglich ist, da die Näherung für groÿe

k

^{Gültigkeit besitzt.}

Wirbenutzen umzumindest eineMindestanzahl von Messwerten zu haben die

k

^'s,wel-

chedirekt unter

10

^liegenzurMittelwertbildung, wobei hierdurcheine Verringerung des Fehlers gegenüber der Mittelwertbildung nur aus

k = 10

^und

k = 13

^{erwartet wird. In}

dieMittelwertbildung lassenwir

k = 8, 9, 10, 13

^{einiessenund erhalten:}

D ^Σ ₀ (k) = (0.00200 ± 0.00022) cm ⁻¹

wobeisichderFehler ausderStandardabweichung ergibt.

Molekülkonstante berechneter Wert/

cm ⁻¹

Literaturwert/

cm ⁻¹

ω ^Π (3568.8 ± 2.5) 3569.6

ω ^Σ (2989.7 ± 3.8) 2988.6

B ₀ ^Π (18.503 ± 0.024) 18.515

B ₁ ^Π (17.9 ± 0.1) 17.8

B ₀ ^Σ (17.01 ± 0.04) 16.96

B ₁ ^Σ (16.08 ± 0.07) 16.1

D ₀ ^Σ (0.00200 ± 0.00022) 0.00204 D ₁ ^Σ (0.00142 ± 0.00058) 0.00203

α ^Π (−0.603 ± 0.103) −0.714

α ^Σ (−0.930 ± 0.081) −0.807

B _e ^Π (18.805 ± 0.108) 18.871

B _e ^Σ (17.475 ± 0.087) 17.355

5 Diskussion und Zusammenfassung

DieMesswerte stimmenalle mitden Literaturwerten überein unddieFortratdiagramme

lassen über die Betrachtung der Verläufe eindeutig eine Aussage darüber treen, dass

sie parabelförmig sind. Die Fehler für die Molekülkonstanten

ω

⁽

≈ 0.1

^{%) und}

B _e

⁽

≈ 0.6

^{%) fallen sehr niedrig aus, während die Fehler von}

α

^{(9% und 17%) und}

D

^{(11% und}

41%)einigermaÿen groÿwerden,wobeidies ausderFehlerfortpanzung folgt.Durchdie

groÿen Fehler stimmen die Konstanten auch mit den Literaturwerten überein, jedoch

müsste bei einer erneuten Versuchsdurchführung darauf geachtet werden auch groÿe

k

mit

k ≥ 10

^von

P ₁ (k) (0 → 0)

^,

P ₁ (k) (1 → 1)

^und

R ₁ (k) (1 → 1)

aufzunehmen. Ein expliziter Hinweis in der Aufgabenstellung wäre hilfreich, wobei die Auorderung nur

von

k = 1

^bis

k = 10

^{Wertezuerfassenalsverwirrend}einzustufenist.EineVerbesserung der Messwerte wäre hiermit möglich, zusätzlich besteht die Möglichkeit die Fehler der

α

^{-Werte zu} reduzieren, indem man für verschiedene

k

^{'s die}

B ^Π,Σ _0,1

^{Werte verrechnet und}

dann einenMittelwert ausdenErgebnissen bildet.

6 Quellen

[2]

^{Karl Heinz Hellwege, Einführung in die Physik der Molekeln, 2. Au.,}

Springer-Verlag,Berlin, Heidelbergusw.1989

7 Anhang

[1]

Messprotokoll

[2]

zusätzliches Aufgabenblatt