Fourier-Matrix
Durch Bilden von Potenzen der Einheitswurzel w n = exp(2πi/n) erh¨ alt man die so genannte Fourier-Matrix
W n =
w n 0·0 · · · w n 0·(n−1)
.. . .. .
w n (n−1)·0 · · · w (n−1)·(n−1) n
.
Sie ist nach Normierung (W n → W n / √
n) unit¨ ar, d.h. W n ∗ W n /n ist die Einheitsmatrix.
Fourier-Matrix 1-1
Beweis:
(i) Orthogonalit¨ at der Spalten:
komplexes Skalarprodukt der (j + 1)-ten und (k + 1)-ten Spalte
n−1
X
`=0
w n `j w n `k = X
`
w n (j −k )` = w n (j −k )n − 1 w n j −k − 1 w n n = 1 = ⇒
n−1
X
`=0
w n `j w n `k = 0
(ii) Normierung:
|w `k | = 1 = ⇒ Norm der Spalten gleich √ n
Fourier-Matrix 2-1
Beispiel:
n = 4, w n = exp(2πi/4) = i
W 4 =
1 1 1 1
1 i −1 −i
1 −1 1 −1
1 −i −1 i
unit¨ ar nach Division durch 2, d.h.
1
2 W 4 ∗ 1 2 W 4
= E
Symmetrie der Fourier-Matrix = ⇒
W 4 ∗ = W 4 t = W 4
Fourier-Matrix 3-1
Diskrete Fourier-Transformation
Die Multiplikation eines n-Vektors c mit der Fourier-Matrix W n wird als diskrete Fourier-Transformation bezeichnet:
f = W n c ⇔ c = 1 n W n ∗ f . Definitionsgem¨ aß ist also
f j =
n−1
X
k=0
c k w n jk , j = 0, . . . , n − 1
⇔
c k = 1 n
n−1
X
j =0
f j w n −kj , k = 0, . . . , n − 1
mit w n = exp(2πi/n), wobei die Vektoren c und f von 0 bis n − 1 indiziert werden.
Diskrete Fourier-Transformation 4-1
Die diskrete Fourier-Transformation entspricht der Auswertung des trigonometrischen Polynoms
p(x) =
n−1
X
k=0
c k e ikx
an den Punkten x j = 2πj /n: f j = p(x j ), j = 0, . . . , n − 1.
Die inverse Transformation kann als Riemann-Summe f¨ ur die Fourier-Koeffizienten interpretiert werden:
hf , e k i 2π = 1 2π
2π
Z
0
f (x )e −ikx dx ≈ 1 n
n−1
X
j=0
f (x j )e −ikx
jmit x j = 2πj /n.
Diese Approximation ist f¨ ur glatte periodische Funktionen und n |k | sehr genau.
Diskrete Fourier-Transformation 4-2
Beispiel:
diskrete Fourier-Transformation des Vektors c = (3, −2, 0, 1) t : Multiplikation mit der Fourier-Matrix
f = W 4 c =
1 1 1 1
1 i −1 −i
1 −1 1 −1
1 −i −1 i
3
−2 0 1
=
2 3 − 3i
4 3 + 3i
inverse Transformation (Multiplikation mit W ∗ /4):
c = 1
4 W 4 ∗ f = 1 4
1 1 1 1
1 −i −1 i
1 −1 1 −1
1 i −1 −i
2 3 − 3i
4 3 + 3i
= 1 4
12
−8 0 4
Diskrete Fourier-Transformation 5-1
