Diagonalisierung zyklischer Matrizen
Eine zyklische n × n-Matrix A kann mit Hilfe der Fourier-Matrix W = (w jk ) j,k=0,...,n−1 , w = exp(2πi/n) , diagonalisiert werden:
1 n W
a 0 a n−1 · · · a 1 a 1 a 0 · · · a 2 .. . . .. .. . a n−1 a n−2 · · · a 0
W =
λ 1 · · · 0 .. . . .. ...
0 · · · λ n
,
d.h. die Spalten von W , (1, w k , w 2k , . . . , w (n−1)k ) t , k = 0, . . . , n − 1, sind die Eigenvektoren von A. Die Eigenwerte λ 0 , . . . , λ n−1 lassen sich auch unmittelbar aus dem erzeugenden Vektor der zyklischen Matrix berechnen:
λ 0
.. . λ n−1
= W
a 0
.. . a n−1
⇐⇒ λ ` =
n−1
X
k =0
a k w −k` , ` = 0, . . . , n − 1 .
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Beweis
A : (a j−k mod n ) j,k=0,...,n−1
j -te Komponente des Vektors A v ` , v ` = (w 0` , · · · , w (n−1)` ) t
n−1
X
k =0
a j −k mod n w (k−j )` w j ` =
k
0=j −k w j`
j
X
k
0=j−n+1
a k0mod n w −k
0`
Indizes modulo n
k 0 ∈ {j − n + 1, . . . , −1} = b k 0 ∈ {j + 1, . . . , n − 1}
= ⇒ P
k
0· · · = λ ` , d.h. Av ` = λ ` v `
schreibe die Identit¨ at f¨ ur v ` , ` = 0, . . . , n − 1, in Matrixform
A (v 0 , . . . , v n−1 )
| {z }
W
= (v 0 , . . . , v n−1 )D, D =
λ 1 · · · 0 .. . . .. ...
0 · · · λ n
W / √
n unit¨ ar und W = W t = ⇒ (W / √
n) −1 = W ∗ / √ n bzw.
W −1 = W /n
(W /n)AW = D, d.h. die behauptete Diagonalisierung
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Beispiel
Diagonalform der zyklischen Matrix
A =
2 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 1 0 1 2
Fourier-Matrix: W = (i jk ) j,k=0,1,2,3 =
1 1 1 1
1 i −1 −i
1 −1 1 −1
1 −i −1 i
Eigenwerte:
λ 0
λ 1
λ 2 λ 3
=
1 1 1 1
1 −i −1 i
1 −1 1 −1
1 i −1 −i
| {z }
W
2 1 0 1
=
4 2 0 2
Diagonalisierung: 1 4 W AW = diag(4, 2, 0, 2)
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A reell reelle Basis f¨ ur den Eigenraum zum Eigenwert 2 durch Linearkombinationen der komplexen Eigenvektoren
1
i
−1
−i
,
1
−i
−1 i
(zweite und vierte Spalte von W )
reelle Eigenvektoren
1
i
−1
−i
+
1
−i
−1 i
=
2 0
−2 0
, i
1
i
−1
−i
− i
1
−i
−1 i
=
0
−2 0 2
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