A10: Beweisen Sie: F¨urz, w∈C∞giltχ(z, w) =χ(1/z,1/w)

J. M¨uller WiSe 2019/2020 13.11.2019

3. ¨Ubung zur H¨oheren Funktionentheorie

A9: Zeigen Sie:

a) Ist (ξ, η, ζ)∈R³, so gilt (ξ, η, ζ)∈S² genau dann, wenn ξ²+η²=ζ(1−ζ).

b) Ist (ξ, η, ζ)∈S²mitζ6= 1 und sinds:=ξ/(1−ζ),t:=η/(1−ζ) sowiez=s+it, so gilt 1 +|z|²= 1/(1−ζ).

c) Durch

ϕ(z) := 1

1 +|z|²(s, t,|z|²) (z=s+it∈C) ist eine bijektive Abbildung vonCnach S²\ {(0,0,1)} definiert mit

ϕ⁻¹(ξ, η, ζ) = 1

1−ζ(ξ+iη) f¨ur (ξ, η, ζ)∈S² mit ζ6= 1.

A10: Beweisen Sie: F¨urz, w∈C∞giltχ(z, w) =χ(1/z,1/w).

Hinweis: Verwenden Sie die alternative Darstellung f¨urχ(z, w) aus Bemerkung 2.8.¹

A11: a) F¨ur A= (a_jk)∈GL₂(C) seiϕ_A die M¨obius-Transformation mit ϕA(z) := a11z+a12

a21z+a22

.

Rechnen Sie nach: IstB= (bjk)∈GL2(C), so giltϕ_A·B =ϕA◦ϕB.

b) Berechnen Sie die sph¨arische Ableitung ϕ^# der Cayley-Transformation ϕ : C → C∞, definiert durch

ϕ(z) = z−i

z+i (z∈C).

A12: Zeigen Sie: F¨urt∈Rgilt

arcsin t

√1 +t²

= arctan(t).

1Zusatzaufgabe: Beweisen Sie diese Darstellung.