¨Ubung : Komplexe Zahlen I 1.1 Berechnen Sie z+ w , z −w , z ·w , z w , z ·w , z ·z , |z|, |w| f¨ur: (a) z = 1 +i√ 3, w = 1−i , (b) z = cost+isint , w = bi , b, t ∈ R, b6= 0

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Prof. Dr. B. Hofmann 29. September 2016

H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)

1. ¨Ubung : Komplexe Zahlen I

1.1 Berechnen Sie z+ w , z −w , z ·w , z

w , z ·w , z ·z , |z|, |w| f¨ur:

(a) z = 1 +i√

3, w = 1−i ,

(b) z = cost+isint , w = bi , b, t ∈ ^R, b6= 0.

1.2 Berechnen Sie Real- und Imagin¨arteil sowie den Betrag von:

z1 = 1

a+i , a ∈ ^R, z2 =

5 2 + ₂ⁱ 2 + 1−¹i

z3 = (1 + 2i)(2−i) + 1 (2−i)² −2 +i . 1.3 Wandeln Sie in die Polarform um.

z1 = 1 +i z2 = −5i z3 = 16 z4 = √

3−i z5 = (2 +i)e^π/6

1.4 Berechnen Sie z1z2 und z1

z2

f¨ur z1 = 2 cos ⁵6^π + i sin ⁵6^π

und z2 = 1 +i√

3, indem Sie z2 in die Polarform umwandeln . Geben Sie Real- und Imagin¨arteil von Produkt und Quotient an.

1.5 Berechnen Sie die Potenzen.

(a) (1−i)¹⁰ (b) (2 +i√ 12)⁻⁵

1.6 Ermitteln Sie alle komplexen L¨osungen der folgenden Gleichungen.

(a) z⁴ = 1 (b) z² = i (c) z³ = −a , a > 0 (d) z⁶ +i = 0 (e) z⁴ = i√

3−1 2

1.7 L¨osen Sie die quadratischen Gleichungen mittels quadratischer Erg¨anzung.

(a) z² −2iz+ 8 = 0 (b) z² −z +iz −i = 0

Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit