Algebra-Aufgaben: Komplexe Zahlen 3
1. Beweise die folgenden Zusammenh¨ange in der Polarform:
∀z, w∈Cgilt:
(a) z=z (b) zz≥0
(c) z+w=z+w (d) z·w=z·w
(e) Re(z) =z+z 2 (f) Im(z) = z−z
2i (g) 1
z = 1
r(cosϕ−isinϕ)
2. Verifiziere geometrisch, dass f¨ur die Konjugierte einer in der trigonome- trischen Form dargestellten komplexen Zahl z = r·(cosϕ+i·sinϕ) gilt:
z=r·(cosϕ−i·sinϕ)
3. Stelle die folgenden Menge in der Gauß’schen Zahlenebene graphisch dar:
(a) {z∈C | Re(z) = 1}
(b) {z∈C | 1≤Re(z)≤5 ∧ 1≤Im(z)≤3}
(c) {z∈C | Re(z)≤0}
(d) {z∈C | −2≤Im(z)≤0}
(e) {z∈C | Re(z) +Im(z) = 1}
(f) {z∈C | |Im(z)|= 2}
1
