{} () ()() () ()() () ()() () ()() z ∈− 1000,...,1000 z + zz z − zz 1 − zz 1 + zz Af z , f z , Bf z , f z , Cf z , f z , Df z , f z 1 2 2 3 3 4 4 1 f : z ! , f : z ! , f : z ! , f : z ! 1 2 3 4 + 1 + 1 + 1 + 1

(1)

Hans Walser, [20160409]

Stereografische Projektion Idee und Anregung: R. S., C.

1 Problemstellung

Gegeben sind die vier Funktionen:

f₁:z!^z²⁺^z

z²+1, f₂:z!^z²⁻^z

z²+1, f₃:z! ¹⁻^z

z²+1, f₄ :z! ^1+z

z²+1 (1)

Für eine reelle Zahl z werden die vier Punkte

A f

(

₁

( )

z ^,^f2

( )

z

)

^, ^{B f}

(

2

( )

z ^, ^f3

( )

z

)

^, ^{C f}

(

3

( )

z ^, ^f4

( )

z

)

^, ^{D f}

(

4

( )

z ^,^f1

( )

z

)

⁽²⁾

gebildet. Welche Eigenschaften haben die Vierecke ABCD?

Die Abbildung 1 zeigt die Situation für ganze Zahlen z∈ −1000,...,1000

{ }

^.

Abb. 1: Ganzzahlige Parameter

(2)

Hans Walser: Stereografische Projektion 2 / 7

2 Bearbeitung

Wir transformieren die Situation. Wir schieben den Punkt

( )

¹₂,¹₂ in den Ursprung und skalieren mit dem Faktor 2. Damit wird:

g₁:z! 2

(

f₁

( )

z ⁻¹₂

)

⁼ ²

(

^z_z²²^+z₊₁⁻¹2

)

⁼ ¹² ^z²^z⁺²²⁺¹^z−1

g₂:z! 2

(

f₂

( )

z ⁻¹₂

)

⁼ ²

(

^z_z²²^−z₊₁⁻¹2

)

⁼ ¹² ^z²^z⁻²²⁺¹^z−1

g₃:z! 2

(

f₃

( )

z ⁻¹₂

)

⁼ ²

(

_z¹⁻²₊₁^z ⁻¹2

)

⁼ ¹² ⁻^z²^z⁻²²⁺¹^z+1

g₄ :z! 2

(

f₄

( )

z ⁻¹₂

)

⁼ ²

(

_z^1+z²₊₁⁻¹2

)

⁼ ¹² ^−z²^z²^+2z+1⁺¹

(3)

Es ist:

g₃

( )

z ⁼⁻^g1

( )

z

g₄

( )

z ⁼^−g2

( )

z ⁽⁴⁾

Aus der Symmetrie der Abbildungsgleichungen (3) und (4) folgt sofort, dass die Vier- ecke Quadrate mit Zentrum im Ursprung sind.

Wegen

g₁²

( )

z ⁺^g22

( )

z ⁼

(

¹₂ ^z²_z⁺²2+1^z−1

)

²⁺

(

¹² ^z²^z^−2z−1²⁺¹

)

² ⁼¹ ⁽⁵⁾

haben diese Quadrate den Einheitskreis als gemeinsamen Umkreis.

Die Abbildung 2 zeigt die neue Situation im Koordinatensystem.

(3)

Abb. 2: Zentrierte Situation

Auffallend sind für z∈! die Häufungspunkte bei den Quadratecken. Dazu folgende Erklärung.

3 Stereografische Projektion

Wegen der vierteiligen Drehsymmetrie der Quadrate können wir uns auf eine Quadrat- ecke beschränken. Die Abbildung 3 zeigt die Ecken A für z∈!.

(4)

Hans Walser: Stereografische Projektion 4 / 7

Abb. 3: Verteilung auf dem Einheitskreis

3.1 Vermutung

Die Verteilung der Punkte A auf dem Einheitskreis lässt eine stereografische Projektion vermuten.

Die stereografische Projektion (in der Ebene) ist eine Zentralprojektion des Kreises von einem Kreispunkt (blau in Abb. 4) aus auf die Tangente im gegenüberliegenden Kreis- punkt.

(5)

Abb. 4: Stereografische Projektion

Wir vermuten in unserem Beispiel, dass eine äquidistante Punktefolge (schwarz) mit der Äquidistanz 2 auf der Tangente auf den Kreis (rote Punkte) rückprojiziert wird. Das erklärt auch, warum das (blaue) Projektionszentrum zum Häufungspunkt der roten Punkte wird.

3.2 Beweis

Wegen (5) ist folgende Substitution zulässig:

g₁

( )

z ⁼ ¹₂ ^z²⁺²^z−1

z²+1 =cos

(

t− ³₄π

)

⁼⁻ ¹₂^cos

^{( )}

^t ⁺ ¹₂^sin

^{( )}

^t

g₂

( )

z ⁼ ¹₂ ^z²^−2z−1

z²+1 =sin

(

t−³₄π

)

⁼⁻ ¹₂^cos

^{( )}

^t ⁻ ¹₂^sin

^{( )}

^t ⁽⁶⁾

Daraus ergibt sich:

z²+2z−1

z²+1 =−cos

( )

t ⁺^sin

( )

^t

z²−2z−1

z²+1 =−cos

( )

t ⁻^sin

( )

^t ⁽⁷⁾

(6)

Hans Walser: Stereografische Projektion 6 / 7 Addition und Subtraktion der beiden Gleichungen (7) liefert:

cos

( )

t ⁼⁻^z_z²2⁻¹+1

sin

( )

t ⁼ ^2z

z²+1

(8)

Daraus folgt:

tan

( )

t ⁼_1−z²^z₂ ⁽⁹⁾

Vergleich mit dem Additionstheorem des Tangens

tan

( )

t ⁼^tan

( )

₂^t ⁺₂^t ⁼_1−tan^{2 tan}

^{( )}

²²^t^t

( )

2 ⁽¹⁰⁾

liefert:

z=tan

( )

₂^t ⁽¹¹⁾

Die Abbildung 5 zeigt die stereografische Projektion in der üblichen Darstellung.

Abb. 5: Stereografische Projektion t t

2

−1 1

2 tan

( )

₂^t ⁼^2z

(7)

Wir sehen, dass sich für z∈! eine äquidistante Punktfolge mit der Äquidistanz 2 ergibt.