(2) F¨ ur ∆, z, f wie in ¨ Ubung 1 berechne 1 2πi

(1) Es seien R > 0, ∆ = { z ∈ C ; | z | < R } , z ∈ ∆, und f (w) = Re w.

Berechne 1 2πi

Z

∂∆

f (w) w − z dw.

(2) F¨ ur ∆, z, f wie in ¨ Ubung 1 berechne 1 2πi

ZZ

∆

∂f

∂ w ¯ · 1

w − z dw ∧ d ¯ w und kontrolliere die Cauchysche Integralformel in Satz 1, AG 3.

(3) Zeige, dass sich f¨ ur z ∈ C \ ∆ in Satz 1, AG 3, ¯ 1

2πi Z

∂∆

f (w)

w − z dw + 1 2πi

ZZ

∆

∂f

∂ w ¯ · 1

w − z dw ∧ d ¯ w = 0 ergibt.

(4) Berechne f

(z) := 1 2πi

ZZ

∆

f (w)

w − z dw ∧ d ¯ w und kontrolliere ∂f

∂¯ z = f f¨ ur ∆, z, f wie in ¨ Ubung 1.

(5) Warum gilt in Satz 2, AG 5, f (z ) = 1 2πi

ZZ

∆

∂f

∂ w ¯ · 1

w − z dw ∧ d ¯ w f¨ ur z ∈ ∆, w¨ahrend in Satz 1, AG 3, noch ein Kurvenintegral auftritt?

(6) Zeige, dass der Fortsetzungssatz von Hartogs (Satz 3, AG 8) auch f¨ ur ∆ := { z ∈ C

; | z |

< r } ⊃ ∆

:= { z ∈ C

; | z |

< r

} gilt.

Zusatzfrage: L¨asst sich auch jedes holomorphe f : { z ∈ ∆; | z |

> r } −→ C holo- morph nach ∆ fortsetzen?

(7) Zerlege f (z ) = z

z

+ z

+ z

entsprechend dem Weierstraßschen Vorbereitungssatz (Satz 4, AG 9).

(8) Es seien α

, . . . , α

paarweise verschieden, p(w) := Q

i=1

(w − α

), f (z ) = z

− p(z

), und N = { z ∈ C

; f(z ) = 0 } . Betrachte N als zweibl¨attrige ¨ Uberlagerung der z

− Ebene (wie in AG 11). Zeige:

(a) n = 2 = ⇒ N

' Kugel \ 2 Punkte; (b) n = 4 = ⇒ N

' Torus \ 2 Punkte.

(Z1) Es seien 0 < a < b < c, 0 < α < β, U = { z ∈ C

; | z

| ∈ (a, b), | z

| < β } ∪ { z ∈

C

; | z

| < c, | z

| ∈ (α, β) } und f : U −→ C holomorph. Zeige, dass sich f

holomorph in { z ∈ C

; | z

| < c, | z

| < β } fortsetzen l¨asst.

2. ¨ Ubungsblatt zu Algebraische Geometrie, WS 2006/07

(9) Zeige, dass die Resultante γ von u = a

Q

i=1

(t − x

) und v = b

Q

k=1

(t − y

) f¨ ur a

, b

, x

, y

∈ R, a

6 = 0, b

6 = 0, R Integrit¨atsbereich, durch

γ = a

b

Y

i=1

Y

k=1

(x

− y

) gegeben ist.

(10) (a) Berechne die Resultante von a

t

+ a

t + a

und b

t

+ b

t + b

.

(b) F¨ ur welche z

schneiden sich die beiden Kegelschnitte a

z

+ (α

z

+ α

)z

+ α

z

+ α

z

+ α

= 0 und b

z

+ (β

z

+ β

)z

+ β

z

+ β

z

+ β

= 0?

(11) Es sei f = z

+ a

z

+ · · · + a

∈ C [z]. Zeige, dass die Resultate von f und f

gleich ( − 1)

mal der Diskriminante von f ist.

(12) (a) Es sei f ∈ O

, f(0) = 0. Zeige, dass ∇ f (0) 6 = 0 (= ⇒ N = f

(0) ist bei 0 eine komplexe Untermannigfaltigkeit) ¨aquivalent ist zu f = u · g, u ∈ O

, g WP vom Grad 1 in geeigneten Koordinaten. (Speziell ist dann f prim in O

.)

(b) Was ist die Primfaktorzerlegung von z

− z

z

in O

f¨ ur z

∈ C

? Unter- scheide drei F¨alle!

(13) Zeige, dass das Weierstraßpolynom g = z

− 3z

z

+ z

∈ O

nicht prim ist!

Hinweis: Das cartesische Blatt N = { z ∈ C

; g(z) = 0 } l¨asst sich durch z

=

3w

1+w³

, z

=

parametrisieren.

Zusatzfragen: Was gilt in O

f¨ ur z

6 = 0? Wie sieht N topologisch aus?

(14) Dividiere e

durch das WP z

− z

entsprechend dem Weierstraßschen Divisions- satz (Satz 9, AG 18). Zeige, dass v(z) = z

√z¹

+ ch( √ z

).

(15) Es sei W = { z ∈ C

; f

(z) = z

+ z

z

+ z

= 0, f

(z) = z

+ z

z

+ z

= 0 } . (a) Bestimme mit Resultanten π(W ) und ˜ π(W ) f¨ ur π : C

−→ C

: z 7−→ (z

, z

) und ˜ π : C

−→ C

: z 7−→ (z

, z

), und ¨ uberpr¨ ufe das Ergebnis mit f

− f

. (b) Zeige, dass W reduzibel ist und W

' ( C ∪ ˙ C

)/ ∼ , wobei ∼ 1 identifiziert.

(16) Es sei g(z) ∈ O

\ O

. Zeige, dass g

(0) bei 0 hom¨oomorph ist zur disjunk- ten Vereinigung von m Einheitskreisen { t ∈ C ; | t | < 1 } mit Identifikation des Nullpunktes.

Hinweise: (a) OEdA ist g ein WP; nach AG 17 ist g = Q

j=1

g

, g

paarweise verschiedene irreduzible WP; g

(0) ∩ g

(0) = { 0 } bei 0 f¨ ur j 6 = k (s. AG 13);

(b) wenn g(z) = Q

i=1

(z

− b

(z

)) oEdA irreduzibel ist, so sind b

(z

) paarweise verschieden f¨ ur 0 6 = z

bei 0;

(c) wenn z bei 0 6 = α startet und z

um 0 l¨auft, h¨angt z

mit g(z

, z

) = 0 holomorph von z

ab und nimmt nach d Uml¨aufen in α

alle b

(α

) an;

(d) f : { t ∈ C ; | t | < } −→ C

: t 7−→ z mit g(z) = 0, z

= t

, f (α

) = (α

, α

) ist holomorph und injektiv f¨ ur kleines > 0. (Die Potenzreihe von z

= f

(t) in t = z

heißt “Puiseuxreihe”.)

(Z2) Zeige, dass f¨ ur ein Weierstraßpolynom g ∈ O

[z

] das folgende ¨aquivalent ist:

(i) γ = (Diskriminante von g) = 0 in O

;

(ii) g hat einen mehrfachen Primfaktor in O

.

3. ¨ Ubungsblatt zu Algebraische Geometrie, WS 2006/07

(17) Zeichne die reellen Teile von V = { [Z] ∈ P

; Z

Z

= Z

} in den drei Karten ϕ

, i = 0, 1, 2. Stelle dabei die Punkte im Unendlichen jeweils durch Geraden durch 0 dar! Zusatzfragen: Was ist V

? Wie sieht V topologisch aus?

(18) Betrachte die projektive Vervollst¨andigung ˆ N des cartesischen Blattes N.

(a) Welche unendlich fernen Punkte liegen in ˆ N , d.h. was ist ˆ N \ N ?

(b) Betrachte ˆ N in der Karte ϕ

, d.h. setze Z

= 1, Z

= w

, Z

= w

, und zeichne den reellen Teil!

(c) Bestimme die Tangente an ˆ N im Wendepunkt [0, 1, − 1] in der Karte ϕ

und

¨

uberpr¨ ufe, dass sich in der Karte ϕ

die Asymptote ergibt!

(19) (a) Es sei V = f

(0) bei 0 f¨ ur f ∈ O

\O

. Der Keim f habe keine mehrfachen Primfaktoren in O

. Zeige: 0 ∈ V

⇐⇒ ∇ f (0) 6 = 0. Wie findet man in diesem Fall eine Karte auf V

bei 0? (Vgl. AG 32)

(b) N sei wie in ¨ Ubung 8. Zeige, dass N eine komplexe Untermannigfaltigkeit von C

ist, d.h. N = N

. Wo l¨asst sich z

, wo z

als Karte verwenden?

(20) N ˆ sei wie in ¨ Ubung 18 das projektiv vervollst¨andigte cartesische Blatt und f : C −→ N ˆ : w 7−→ [1 + w

, 3w, 3w

]. Die Riemannsche Fl¨ache ˜ N := ˆ N ∪ {∞ ˙

} mit der von ˜ f : ¯ C −→ ˜ N ˜ : w 7−→

f(w) : w 6 = ∞

∞

: w = ∞

¨

ubertragenen Mannigfaltigkeitsstruk- tur heißt “Desingularisierung” von N. Gib einen komplexen Atlas auf ˜ N an!

(21) (a) Zeige, dass sich i dz ∧ d¯ z

2π(1 + | z |

)

zu ω ∈ A

( ¯ C ) fortsetzen l¨asst!

(b) Warum gibt ω die Standardorientierung (s. AG 28) auf ¯ C ? (c) Berechne R

¯ C

ω.

(22) N sei wie in ¨ Ubung 8 und V = ˆ N die projektive Vervollst¨andigung.

(a) Was ist V \ N ? (Unterscheide n = 1, n = 2 und n ≥ 3.) (b) Was ist V

? (c) Zeige, dass sich

zu ϕ ∈ Z

(N ) fortsetzen l¨asst!

(d) Warum gibt iϕ ∧ ϕ ¯ die Standardorientierung auf N ?

(23) (a) M sei eine n − dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Warum ist H

(M ) = 0, wenn p > n oder q > n? (b) Bestimme H

( C ) f¨ ur p, q ∈ { 0, 1 } !

(24) λ

, . . . , λ

sei eine R − Basis von C

, Λ = λ

Z + · · · + λ

Z , und M = C

/Λ.

Weiters sei 0 < ≤

min {| z | ; z ∈ Λ \ { 0 }} , z ∈ C

, ∆

= { w ∈ C ; | z − w | < } , U

= kan(∆

), kan : C

−→ M : w 7−→ [w].

(a) Warum ist ψ

= kan |

: ∆

−→ U

bijektiv?

(b) Warum ist { ψ

; z ∈ C } ein komplexer Atlas auf M ? (c) Bestimme H

(M ), 0 ≤ p ≤ n.

(Z3) N sei wie in ¨ Ubung 8 f¨ ur n ≥ 4. Desingularisiere N ˆ beim singul¨aren Punkt [0, 0, 1] (vgl. die ¨ Ubungen 16 und 20)! Gib eine bzw. zwei Karte(n) auf N ˜ an beim bzw. bei den unendlich fernen Punkt(en), wenn n ungerade bzw. gerade ist.

(Schreibe f(z) = 0 f¨ ur großes z

, z

als Gleichung in v

=

, v

=

an.)

4. ¨ Ubungsblatt zu Algebraische Geometrie, WS 2006/07

(25) Beweise im Detail die zweite Aussage im Lemma in AG 44, d.h. dass eine positive (1, 1) − Form ω eine hermitesche Metrik h liefert.

(26) ω sei die zur Fubini–Study Metrik auf P

assoziierte (1, 1) − Form und ϕ

([Z]) = (

0

, . . . ,

0

) = (z

, . . . , z

).

(a) Zeige, dass ω

= i 2π

· n! · dz

∧ d¯ z

∧ · · · ∧ dz

∧ d¯ z

(1 + | z |

)

. (b) Zeige, dass R

Pⁿ

ω

= 1.

(27) Berechne vol(S) f¨ ur S = { [Z ]; Z

Z

= Z

} bzgl. der Fubini–Study Metrik auf P

.

(28) Zeige dω = 0 f¨ ur die Fubini–Study Metrik (die also eine k¨ahlersche Metrik ist).

Hinweis: Es gen¨ ugt, dies im Punkt [1, 0, . . . , 0] zu zeigen. (Warum?)

(29) (a) Schreibe g = Re ds

f¨ ur die Fubini–Study Metrik auf P

in den Koordinaten z

=

, j = 1, . . . , n, an!

(b) Bestimme das Volumsmaß dσ = ˆ Ω

f¨ ur i : R

, → C

, → P

und berechne vol( R

) = R

Rn

dσ.

(c) Zeige i

(ω) = 0 und folgere, dass 0 =

R

ω

< vol( R

) f¨ ur n gerade.

(30)

V sei ein euklidischer Vektorraum mit dim

V = 2d und b : V × V −→ R sei bilinear und alternierend. Zeige:

∃ ONB e

, . . . , e

, f

, . . . , f

in V

: ∃ α

, . . . , α

∈ R : b = X

j=1

α

e

∧ f

.

Hinweise: Eine reelle schiefsymmetrische m × m Matrix B hat nur rein imagin¨are Eigenwerte und daher ist det B = 0 f¨ ur ungerades m. F¨ ur v ∈ V \ { 0 } bestimme ein ONSystem e

, f

∈ V

mit e

(v) 6 = 0 und (b − α

e

∧ f

)(v, − ) ≡ 0.

(31) (Fortsetzung)

H sei ein Hilbertraum mit innerem Produkt h = g + iω und i : W , → H ein reeller, 2d − dimensionaler Unterraum. Zeige, dass

i

(ω)

≤ dσ = ˆ Ω

mit Gleichheit nur, wenn W ≤

H, d.h. wenn W ein komplexer Unterraum ist. (Man nennt das die “Wirtingersche Ungleichung”.)

(32) Folgere aus ¨ Ubung 31, dass f¨ ur eine 2d − dimensionale reelle orientierte Unter- mannigfaltigkeit S von M (komplexe Mannigfaltigkeit mit hermitescher Metrik) vol(S) ≥

R

ω

, und dass f¨ ur vol(S) < ∞ Gleichheit nur f¨ ur komplexe Un- termannigfaltigkeiten gilt.

(Z4) Nach dem klassischen Poincar´eschen Lemma und wegen ¨ Ubung 28 muss ω exakt

sein auf C

⊂ P

. Bestimme η ∈ A

( C

) mit dη = ω |

und kontrolliere vol(S)

in ¨ Ubung 27 mit dem Satz von Stokes.

5. ¨ Ubungsblatt zu Algebraische Geometrie, WS 2006/07

(33) Zeige direkt, dass das Mittag–Leffler Problem auf S = P

= ¯ C f¨ ur beliebige σ ∈ PP (S) l¨osbar ist!

(34) Bestimme H

(U , O ) f¨ ur S = P

= ¯ C und U = { C , C ¯ \ { 0 }} . ( ¨ Ubrigens gilt H

(U , O ) = H

( P

, O ) aufgrund des Satzes von Leray.)

(35) F¨ ur ∅ 6 = U ⊂ C offen sei B (U ) := { f : U −→ C holomorph und beschr¨ankt } , r

(f ) = f |

f¨ ur U ⊂ V.

(a) Warum ist B eine Pr¨agarbe von C − Algebren auf X = C ?

(b) Zeige, dass ∀ U

, U

⊂ C offen mit U

∩ U

6 = ∅ : ∀ f

∈ B (U

) mit f

|

= f

|

: ∃

f ∈ B (U

∪ U

) : ∀ i = 1, 2 : f |

= f

.

(c) Warum ist B dennoch keine Garbe?

(36) (a) Wie muss man Keime bei x ∈ X f¨ ur eine Pr¨agarbe F definieren, damit sich z.B. f¨ ur O das ¨ ubliche ergibt?

(b) Der “Halm” F

sei die Menge der Keime bei x und ˜ F := S

x∈X

F

mit { V

:=

{ [σ]

∈ F

; x ∈ U } ; σ ∈ F (U ), ∅ 6 = U ⊂ X offen } als Basis der Topologie. Zeige, dass π : ˜ F −→ X : [σ]

7−→ x stetig und ein lokaler Hom¨oomorphismus ist, bzw.

genauer, dass π |

: V

−→

top.

U f¨ ur σ ∈ F (U ).

(c) Was ist ˜ Z bzw. ˜ R zur Garbe Z bzw. R auf X?

(37) (Fortsetzung) (a) Warum ist ˜ F (U ) := Γ(U, F ˜ ) := { f : U −→ F ˜ stetig mit π ◦ f = id

} mit der ¨ ublichen Einschr¨ankungsabbildung eine Garbe?

(b) Zeige, dass F (U ) −→ F ˜ (U ) : σ 7−→ (x 7−→ [σ]

) ein Garbenisomorphismus ist, wenn F eine Garbe ist!

(c) Welche Garbe ˜ B ergibt sich zu B in ¨ Ubung 35?

(38) (Fortsetzung) Zeige, dass f¨ ur eine Pr¨agarbe F gilt, dass ˜ F (U ) ' A(U )/ ∼ , wobei A(U ) := { (σ

) ∈ Y

i∈I

F (U

); U = [

i∈I

U

, ∀ x ∈ U

∩ U

:

∃ x ∈ V ⊂ U

∩ U

offen : σ

|

= σ

|

} und (σ

)

∼ (σ

)

⇐⇒ (σ

, σ

)

∈ A(U ). (Vgl. AG 59 bzgl. F (U ) = C (U ).)

(39) Es sei S

= R / Z und π : R −→ S

: x 7−→ [x]. Bestimme H ˇ

(S

, Z ) = lim

H

(U , Z ) durch Betrachtung von U

= { π((

,

)); i = 0, . . . , n − 1 } , n ∈ N . (40) Es sei M = C , β = exp : O −→ O

: f 7−→ e

, und C (U ) = O

(U )/Bi(β

) f¨ ur

∅ 6 = U ⊂ C offen.

(a) Was ist C (U ), wenn U einfach zusammenh¨angend ist?

(b) Was ist C

, z ∈ C , und was ist ˜ C ? (c) Bestimme C ( C \ { 0 } ) direkt!

(Z5) C sei wie in ¨ Ubung 40. Bestimme C ( C \ { 0 } ) aus der langen exakten Folge zu

0 −→ Z −→ O −→ O

−→ 0. (Vgl. AG 66.)

6. ¨ Ubungsblatt zu Algebraische Geometrie, WS 2006/07

(41) · · · −→ V

−→

V

−→ . . . sei ein Kettenkomplex von Vektorr¨aumen ¨ uber einem K¨orper K (d.h. ∂

◦ ∂

= 0). Betrachte den dualen Komplex

· · · ←− V

T

←−

V

←− . . . und zeige, dass

H

:= Ker δ

/Bi δ

' H

:= (Ker ∂

/Bi ∂

)

: [f ] 7−→ ([v] 7→ f(v)).

(42) Es sei ω = i dz ∧ d¯ z

2π(1 + | z |

)

∈ A

( P

) die (1, 1) − Form zur Fubini–Study Metrik.

(a) Zeige, dass in C gilt ω = dτ

, τ

= i 2π

zd¯ z

1 + | z |

∈ A

( C ), und in P

\ { 0 } gilt ω = dτ

, τ

= − i

2π

zd¯ z

| z |

(1 + | z |

) ∈ A

( P

\ { 0 } ).

(b) Bestimme [µ] = δ

([ω]) ∈ H

( P

, Z

), wenn δ

der Verbindungshomomor- phismus zur exakten Garbensequenz 0 → Z

, → A

→ Z

→ 0 auf P

ist, d.h.

δ

: H

( P

, Z

) −→ H

( P

, Z

).

(43) (Fortsetzung) Bestimme δ

([µ]) ∈ H ˇ

( P

, C ), wenn δ

der Verbindungshomomor- phismus zur exakten Garbensequenz 0 → C , → C

→ Z

→ 0 auf P

ist. (Ver- feinere U = { C , P

\ { 0 }} zu V

= C \ [1, ∞ ), V

= C \ ( −∞ , 0], V

= P

\ [0, 1].) (44) ¯ C werde als Tetraeder mit den Ecken D

= { 0, 1, ∞ , − i } (mit der Anordnung

0 < 1 < ∞ < − i) trianguliert. Bestimme δ

: C

(K, Z ) = M

ν1<ν2

Z · h ν

, ν

i ' Z

−→ C

(K, Z ) = M

ν1<ν2<ν3

Z · h ν

, ν

, ν

i ' Z

und folgere H

(K, Z ) −→

Z : (a

) 7−→ a

− a

+ a

− a

. (45) (Fortsetzung) (a) Zeichne die zugeh¨orige ¨ Uberdeckung W = { St(ν) }

(AG 69).

(b) Schreibe den Isomorphismus ˇ C

(W , Z ) −→

C

(K, Z ) aus!

(46) V sei wie in ¨ Ubung 43 und λ ∈ Z

(V , R ) gegeben durch λ

= Y (Im z). Was entspricht [λ] ∈ H ˇ

( P

, R ) in H

( P

, R )

unter dem Isomorphismus in AG 73?

Was ist speziell [λ]([σ]), wenn σ die Triangulierung entsprechend ¨ Ubung 44 ist, d.h. σ = g

− g

+ g

− g

? Was ist der Zusammenhang mit dem Satz von de Rham?

(47) Zeige, dass das Cousin–Problem auf M := { z ∈ C

; | z |

> 1 } nicht l¨osbar ist, d.h.

gib eine analytische Hyperfl¨ache V in M an, die sich nicht als f

(0), f ∈ O (M ), schreiben l¨asst.

(48) ω ∈ Z

( P

) sei wie in ¨ Ubung 42. (a) Bestimme δ

([ω]) ∈ H

( P

, Ω

) bzgl. der exakten Garbensequenz 0 → Ω

, → A

→ Z

→ 0 auf P

, vgl. AG 76.

(b) Was entspricht δ

([ω]) unter dem Isomorphismus H

( P

, Ω

) ' C in AG 80?

(Z6) Zeige wie in AG 79, 80, dass H

( P

, Ω

) ' C f¨ ur p = 2 und ansonsten verschwindet

durch Betrachtung der azyklischen ¨ Uberdeckung U = {{ [Z] ∈ P

; Z

6 = 0 } ; i =

0, 1, 2 } .

7. ¨ Ubungsblatt zu Algebraische Geometrie, WS 2006/07

(49) (a) Zeige, dass U = { C , P

\ { 0 }} eine azyklische ¨ Uberdeckung zur Garbe O

ist durch Betrachtung der langen exakten Folge zur exponentiellen Garbensequenz auf C \ { 0 } .

(b) Bestimme H

( P

, O

) mittels des Satzes von Leray sowie ¨ Ubung 40.

(50) (Fortsetzung) Bestimme den Verbindungshomomorphismus δ

= c

: H

( P

, O

) −→

H ˇ

( P

, Z ) zur exponentiellen Garbensequenz auf P

. (c

ordnet einem “Gera- denb¨ undel” [L] ∈ Pic( P

) = H

( P

, O

) seine “Chernklasse” zu.)

Hinweis: Verfeinere U wie in ¨ Ubung 43.

(51) Es sei V = { [Z] ∈ P

; P (Z ) = P

|α|=m

a

Z

= 0 } mit a

∈ C nicht alle 0 und P quadratfrei, und P

, → P

: [Z] 7→ [Z, 0]. Unter welcher Bedingung schneiden sich P

und V uberall transversal und was ist dann #( ¨ P

· V )? Was ist #([ P

] · [V ]) bzw. vol(V ) = R

V

ω?

(52) V

seien analytische Kurven in P

vom Grad m

wie in ¨ Ubung 51.

(a) Was ist [ϕ

] := F

([V

]) ∈ H

( P

)?

(b) Folgere aus #([V

] · [V

]) = R

P²

ϕ

∧ ϕ

(vgl. AG 95) den Satz von Bezout!

(53) (a) Unter welcher Bedingung gilt der Satz von K¨ unneth auch f¨ ur den Ring R = Z ? (b) ¨ Uberlege, dass diese Bedingung f¨ ur X = S

= ∂∆

erf¨ ullt ist! Konstruiere Z − Basen wie in AG 93 in Z

(X, Z ) ≤ C

(X, Z ) und in B

(X, Z ) ≤ Z

(X, Z ) ≤ C

(X, Z ).

(54) (a) Verallgemeinere den Satz von K¨ unneth f¨ ur ein direktes Produkt von endlich vielen Faktoren. (b) Bestimme damit H

(( S

)

, Z ), 0 ≤ m ≤ n.

(55) (Fortsetzung) S

= { z ∈ C ; | z | = 1 } sei durch g

: ∆

−→ S

: x 7−→ e

orientiert und g

: ∆

−→ S

: 1 7−→ 1. (a) Warum ist g

∈ Z

( S

, Z )?

(b) Warum ist { [g ] = [g

× · · · × g

]; ∈ { 0, 1 }

, | |

= m } eine Basis von H

(( S

)

, Z ) f¨ ur 0 ≤ m ≤ n? Bestimme #([g

] · [g

]), wenn | |

+ | δ |

= n.

(c) Bestimme [ω

] := F

([g

]) ∈ H

( S

) und kontrolliere R

(S¹)ⁿ

ω

∧ ω

=

#([g

] · [g

])!

(56) Es seien V = { z ∈ C

; z

= z

} , W = { z ∈ C

; z

= z

} , und ˆ V , W ˆ die projektiven Vervollst¨andigungen von V bzw. W.

(a) Bestimme ˆ V ∩ W ˆ ! Wo schneiden sich V, W transversal?

(b) Bestimme m

(V · W ) und kontrolliere #([ ˆ V ] · [ ˆ W ]) = P

p∈Vˆ∩Wˆ

m

( ˆ V · W ˆ ) (vgl. § 3, Satz 5, AG 105) mittels des Satzes von Bezout (s. ¨ Ubung 52).

(Z7) F¨ ur eine komplexe Mannigfaltigkeit M sei die multiplikative Gruppengarbe M

durch M

(U ) = M (U ) \ { 0 } gegeben und M

/ O

= Coker( O

, → M

). Zeige

M

/ O

( P

) = Z

und bestimme δ

: M

/ O

( P

) −→ H

( P

, O

) zu 0 →

O

→ M

→ M

/ O

→ 0 auf P

. (δ

ordnet einem “Divisor” D sein “Gera-

denb¨ undel” [D] zu.)

8. ¨ Ubungsblatt zu Algebraische Geometrie, WS 2006/07

(57) (a) Zeige, dass eine C

− Mannigfaltigkeit M genau dann orientierbar ist, wenn das Determinantenb¨ undel des reellen Tangentialb¨ undels T

M trivial ist.

(b) Sind die reellen VB T

S

→ S

bzw. Λ

T

S

→ S

trivial?

(58) M sei eine C

− Mannigfaltigkeit bzw. eine komplexe Mannigfaltigkeit.

(a) Zeige, dass die Menge der Isomorphieklassen von KVBn bzw. HVBn vom Rang 1 (d.h. Geradenb¨ undel) auf M mit ⊗ eine abelsche Gruppe bildet, die isomorph zu H

(M, A

) bzw. H

(M, O

) ist (wobei A

(U ) = { f : U → C

C

} ).

(b) Zeige, dass O

, → A

einen Isomorphismus H

( P

, A

) ' H

( P

, O

) ' Z (vgl. ¨ Ub. 49) induziert. Was bedeutet das f¨ ur die KVB bzw. HVB vom Rang 1 auf P

?

(59) Das “universelle B¨ undel” J auf P

ist das durch J = { (p, W ); W ∈ p ∈ P

} gegebene Subgeradenb¨ undel des trivialen B¨ undels E = P

× C

.

(a) Zeige, dass J die B¨ undelkarten ϕ

(p, W ) = (p, W

), p ∈ U

:= { [Z ] ∈ P

; Z

6 = 0 } , α = 0, . . . , n, hat, und bestimme die ¨ Ubergangsfunktionen g

. (b) Bestimme die ¨ Ubergangsfunktionen des Determinantenb¨ undels des Cotangen- tialb¨ undels (d.h. des “kanonischen Geradenb¨ undels”) auf P

zu geeigneten B¨ undel- karten auf π

(U

) und zeige damit, dass Λ

T

P

' J

.

(60) Es sei M = P

, J wie in ¨ Ubung 59, und J

:= J

f¨ ur k ∈ N .

(a) Warum sind die Isomorphieklassen von KVBn bzw. HVBn vom Rang 1 auf P

durch { J

; k ∈ Z } gegeben? Warum ist T

P

' J

und T

P

'

KVB

J

? (b) Bestimme O (J

)( P

), k ∈ Z , d.h. die globalen holomorphen Schnitte zu J

! (61) Das triviale B¨ undel E = P

× C

werde mit der Standardmetrik h = P

α=0

dW

⊗ dW

versehen, h |

sei die induzierte Metrik auf dem universellen B¨ undel, und D

, D

die metrischen Zusammenh¨ange.

(a) Was ist θ

= θ

∈ A

(U

), U

wie in ¨ Ub. 59, bzgl. des holomorphen Frames e

mit e

([Z]) = ([Z ], Z/Z

)? (b) ¨ Uberpr¨ ufe D

= pr

◦ D

|

.

(62) (Fortsetzung) (a) ¨ Uberlege, dass f¨ ur ein hermitesches Geraden b¨ undel F → M aus Θ

= gΘg

auf U ∩ U

folgt, dass Θ ∈ A

(M ). (Θ heißt “Kr¨ ummungsform”.) (b) Zeige, dass Θ = 2πi ω f¨ ur J wie oben, wenn ω die (1, 1) − Form zur Fubini–

Study Metrik ist.

(c) Folgere, dass Θ negativ definit ist, wie es nach AG 134 sein muss.

(63) Es sei M = P

und E = T

P

mit der Fubini–Study Metrik und dem metrischen Zusammenhang D, U

= { [Z] ∈ P

; Z

6 = 0 } , z

=

0

. (a) Berechne θ im holomorphen Frame e

([Z]) = ([Z ],

i

), i = 1, . . . , n, auf U

. (b) ¨ Uberlege, dass Θ = ¯ ∂θ, bestimme Θ ∈ A

(U

)

, und zeige, dass Θ > 0.

(c) Kontrolliere Θ f¨ ur n = 1 mit der Formel Θ = − 2∂ ∂ ¯ log h, wenn ds

= h

dz ⊗ d¯ z (s. AG 129).

(64) Es seien E, J wie in ¨ Ubung 59 und n = 1. Zeige, dass f¨ ur das Quotientenb¨ undel

gilt E/J ' J

. Zeige weiters T S

' J

⊕ J

' S

× C

als KVB.

9. ¨ Ubungsblatt zu Algebraische Geometrie, WS 2006/07

(65) E = T

P

−→ P

sei das hermitesche VB zur Fubini–Study Metrik.

(a) Zeige, dass v

=

2)

|z|

(z

∂

+ z

∂

), v

=

√π

√

1+|z|²

|z|

(¯ z

∂

− z ¯

∂

) mit z

=

, ∂

=

j

ein unit¨ares Frame auf U = { [Z] ∈ P

; Z

6 = 0, [Z] 6 = [0, 0, 1] } ist. (b) Bestimme das duale Coframe ϕ

, ϕ

!

(66) (Fortsetzung) (a) Stelle d¯ z

durch ¯ ϕ

, ϕ ¯

dar, und bestimme so ∗ d¯ z

∈ A

(U ).

(b) Berechne ∆

f f¨ ur f ∈ A

(U )!

(c) ¨ Uberpr¨ ufe, dass ∆

f ≡ − 2 P

j=1

f

= − 2 P

j=1

v

(¯ v

f) entsprechend der Weizenb¨ockschen Identit¨at.

(67) P M sei eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit mit hermitescher Metrik ds

=

j,k

h

dz

⊗ d¯ z

in der Karte z = (z

, . . . , z

), Ω die Volumsform, dim M = n.

(a) Zeige, dass Ω = dµ = ∗ 1 = C

det(h) dz ∧ d¯ z, wobei dz = dz

∧ · · · ∧ dz

. (b) Zeige, dass ∗ d¯ z

= 2C

P

k=1

( − 1)

h

dz ∧ d¯ z

∧ · · · ∧ d¯ d z

∧ · · · ∧ d¯ z

. (c) Zeige ∆

f = − 2

det h P

j,k

∂

∂z

h

· ∂f

∂ z ¯

f¨ ur f ∈ A

(M ).

(d) Bestimme mit (c) ∆

f in der Karte ϕ

(s. AG 24) auf P

und kontrolliere das Ergebnis von ¨ Ubung 66.

(68) M, z, ds

, Ω, n seien wie in ¨ Ubung 67.

(a) Zeige direkt ∆

(f det(h) dz ∧ d¯ z) = − 2 P

j,k

∂

∂ z ¯

h

· ∂f

∂z

dz ∧ d¯ z, f ∈ A

(M ).

(b) Zeige ∗ ∆

= ∆

∗ und ∆

(f Ω) = ∆

f ¯ · Ω = ∆

f · Ω. Folgere dann aus ¨ Ubung 67 (c) die Formel in (a).

(c) Folgere H

(M, Ω

) ' H

(M, Ω

) aus den S¨atzen von Hodge und Dolbeault!

(d) Zeige ∆

(f Ω) = ∆

f · Ω auf M = P

!

(69) M, z, ds

, Ω, n seien wie in ¨ Ubung 67; M sei zusammenh¨angend.

(a) Zeige, dass ∗ : A

(M ) −→ A

(M ) die Norm erh¨alt!

(b) Berechne k Ω k und folgere mit Cauchy–Schwarz, dass

∀ ϕ ∈ A

(M ) : Z

M

ϕ ≤ p

vol(M ) · k ϕ k mit Gleichheit nur f¨ ur ϕ ∈ C · Ω.

(c) Zeige, dass (b) ein Spezialfall von Satz 1, AG 138, und dem Satz von Hodge ist.

Verwende A

= Z

= C Ω ⊕ ∂A ¯

.

(70) M, ds

, n seien wie in ¨ Ubung 67, ω sei die assoziierte (1, 1) − Form zu ds

. (a) Zeige, dass ∗ ω

= k!

(n − k)! ω

f¨ ur k = 0, . . . , n.

(b) Folgere ∆

ω

= 0 falls ω geschlossen ist (d.h. ds

eine K¨ahlermetrik ist).

(c) Bestimme H

( P

) bzgl. der Fubini–Study Metrik unter Zugrundelegung von

H

( P

) entsprechend AG 80.