Zeigen Sie, dass: f−1(A∩B)= f−1(A)∩ f−1(B)

U¨bungen zuMfI: AlgebraischeStrukturen TU Kaiserslautern

Jun.-Prof. Dr. CarolineLassueur Dipl.-Math. RuwenHollenbach

Abgabetermin:16.11.2018 WS 2018/19

— Blatt 3 —

Aufgabe1. (a) SeienEundFzwei Mengen und f :E→Feine Abbildung vonEnachF.

SeienA,B⊂Fzwei Teilmengen vonF. Zeigen Sie, dass:

f⁻¹(A∩B)= f⁻¹(A)∩ f⁻¹(B).

(b) Wir betrachten die Abbildungen:

(i) f :{1,2} ×Z→Z, (a,b)7→2a−b, (ii) g:Z×Z→Z, (a,b)7→2a−3b.

Bestimmen Sie f⁻¹({1,2}) undg⁻¹({0}).

Aufgabe2.

Es seien M und N endliche Mengen und f : M → N eine Abbildung von M nach N.

Beweisen Sie:

(a) f surjektiv⇒ |M| ≥ |N|. (Hinweis: Nutzen Sie Aufgabe 4 von Blatt 2.) (b) f bijektiv⇒ |M|=|N|.

Aufgabe3.

Im Folgenden bezeichneAeine Menge undR⊂A×Aeine Relation aufA. Bestimmen Sie in jedem Fall obReine ¨Aquivalenzrelation oder eine Halbordnung aufAist.

(a) A={1,2,3}undR={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}, (b) A=N0undR={(a,b)∈N0×N0| ∃m∈Zsodassa−b=2m},

(c) A=N0undR={(a,b)∈N0×N0|a≤b}.

Aufgabe4.

In der Vorlesung haben Sie die ganzen ZahlenZmithilfe folgender Relation aufN0kon- struiert:

(a,b)∼(c,d)⇔a+d=b+c.

Außerdem haben Sie die Verkn ¨upfungen+und·aufZdefiniert durch:

[(a,b)]+[(c,d)] :=[(a+c,b+d)],

[(a,b)]·[(c,d)] :=[(a·c+b·d,a·d+b·c)].

(a) Zeigen Sie, dass die Relation∼eine ¨Aquivalenzrelation ist.

(b) Seien [(a,b)],[(c,d)],[(e,f)]∈ Z. Zeigen Sie, dass f ¨ur die Verkn ¨upfungen+und·auf Zgilt:

(i) Seien (a,b)∼(a⁰,b⁰) und (c,d)∼(c⁰,d⁰). Dann gilt:

[(a,b)]+[(c,d)]=[(a⁰,b⁰)]+[(c⁰,d⁰)], [(a,b)]·[(c,d)]=[(a⁰,b⁰)]·[(c⁰,d⁰)]. Wir sagen dann, dass+und·wohldefiniertsind.

(ii) Assoziativit¨at:

[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)], [(a,b)]·([(c,d)]·[(e,f)])=([(a,b)]·[(c,d)])·[(e, f)].

(iii) Kommutativit¨at:

[(a,b)]+[(c,d)]=[(c,d)]+[(a,b)], [(a,b)]·[(c,d)]=[(c,d)]·[(a,b)]. (iv) Distributivit¨at:

[(a,b)]·([(c,d]+[(e,f)])=[(a,b)]·[(c,d)]+[(a,b)]·[(e,f)], ([(a,b)]+[(c,d)])·[(e, f)]=[(a,b)]·[(e, f)]+[(c,d)]·[(e,f)].