Zeigen Sie, dass das Verfahren f ¨urα= 1

Numerik, Sommersemester 2010 Aufgabenblatt 6

Prof. Peter Bastian Abgabe 4. Juni 2010

IWR, Universit¨at Heidelberg U¨BUNG1 SDIRK VERFAHREN

1. Bestimmen Sie f ¨ur das Alexander Verfahren, welches durch das Butcher Tableau

α α 0

1 (1−α) α 1−α α

gegeben ist, die Stabilit¨atsfunktionω(hλ) zum Modellproblem u⁰(t) = λu(t) (erf ¨ullt yn+1 = ω(hλ)y_n).

2. Zeigen Sie, dass es f ¨urα= 1±

√ 2

2 das Modellproblem in zweiter Ordnung approximiert. F ¨uhren Sie hierzu einen Koeffizientenvergleich vonω(z)unde^z durch.

3. Zeigen Sie, dass das Verfahren f ¨urα= 1±

√ 2

2 L-stabil ist.

4. Zeigen Sie, dass das Verfahren von Crouzieux mit dem Butcher-Tableau

1 2 + ¹

2√ 3

1 2 + ¹

2√

3 0

1 2 − ¹

2√

3 −^√1

3 1 2 + ¹

2√ 3

0 ¹₂ ¹₂

A-stabil (aber nicht L-stabil) ist und das Modelproblem in dritter Ordnung approximiert.

4 Punkte U¨BUNG2 B-STABILITAT¨

Gegeben seien die beiden AWA

u⁰(t) = f(t, u(t)), u(t0) =u0 ∈R^d v⁰(t) = f(t, v(t)), v(t₀) =v₀ ∈R^d wobeif :R×R^d→R^deineeinseitige Lipschitzbedingungerf ¨ulle:

(f(t, u(t)−f(t, v(t)), u(t)−v(t))≤Lku(t)−v(t)k² Gem¨aß dem lokalen Stabilit¨atssatz gilt die Absch¨atzung

ku(t)−v(t)k ≤e^L(t−t0){ku₀−v₀k}.

Falls die LipschitzkonstanteL ∈ R vonf(t,·) mitL = 0 gew¨ahlt werden kann (undf(t,·) damit einer Monotonie-Bedingung gen ¨ugt), dann nennen wir die AWA nicht expansiv. Ein Runge-Kutta Verfahren heißtB-stabil, wenn es ein diskretes Analogon dieser Eigenschaft erbt, d.h. f ¨ur die diskreten Approximationen(ui)i≥0 und(vi)i≥0bei beliebigemh >0nach dem ersten Schritt die Bedingung

ku₁−v1k ≤ ku₀−v0k erf ¨ullt ist.

1. Zeigen Sie, dass B-stabile RK Verfahren auch A-stabil sind.

2. Man zeige, dass unter den Kollokationsverfahren die Gauss-Verfahren B-stabil sind.

(Hinweis: Beim Gauss-Verfahren sind die(ci)i≤sgerade die St ¨utzpunkte aus der Gauss-Quadratur, welche Polynome bis zur Ordnung2s−1exakt integriert. Verwenden Sie diese Eigenschaft.) 3. Man zeige, dass die Gauss-Verfahren nicht L-stabil sein k ¨onnen.

5 Punkte

U¨BUNG3 θ-SCHEMA

Das elementareθSchema entspricht dem Butcher-Tableau:

θ θ 1 .

1. Zeigen Sie, dass dieses Verfahren ¨aquivalent ist zu einer Vorschrift yn+1=yn+hf(tn+θh, yn+θ(yn+1−yn)).

2. F ¨ur welche Werte vonθist das Verfahren A-stabil. F ¨ur welche Werte ist es L-Stabil.

3 Punkte U¨BUNG4 STABILITAT EINER LINEAREN¨ AWA

Jede der in der Vorlesung betrachteten Einschrittmethoden nimmt angewendet auf ein lineares (au- tonomes) Systemu⁰(t) = Au(t) mitA ∈ R^d×d die Form y_n = g(hA)yn−1 an, mit einer rationalen Funktiong(·).

1. F ¨ur den Fall, dass die Matrix symmetrisch ist, zeige man bzgl. der euklidischen Norm die Absch¨atzung

ky_nk ≤ max

1≤i≤d|g(hλ_i)|ⁿky₀k

mit den Eigenwertenλi vonA. (Hinweis: Reell-symmetrische Matrizen besitzen ein Orthogo- nalsystem aus Eigenvektoren.)

2. Bei ¨ortlicher Diskretisierung der (1-dimensionalen) W¨armeleitungsgleichung

∂tv(x, t) =∂xxv(x, t), v(0, t) =v(1, t) = 0, v(x,0) =v0(x)

mittels der zentralen Differenzenquotienten zweiter Ordnung entsteht ein System vond= _∆x¹ −1 gew ¨ohnlichen Differentialgleichungen in den Unbekanntenui(t)≈v(xi, t):

u⁰_i(t) = 1

∆x² [u_i+1(t)−2u_i(t) +ui−1(t)], i= 1, . . . , d(u₀ =u_d+1= 0).

Die zugeh ¨orige Koeffizientenmatrix

A= 1

∆x²



















2 −1

−1 2 −1

−1 2 −1 . .. ... ...

−1 2 −1

−1 2



















hat die Eigenwerte

λj =−

sin(jπ∆x/2)

∆x/2 2

, j= 1. . . d.

Man bestimme die maximale Schrittweitehmax f ¨ur welche das explizite Euler Verfahren das System noch stabil integriert.

3 Punkte