Aufgabe 1. Gegeben Sei das uneigentliche Integral I(f ) =

Einf¨ uhrung in die Grundlagen der Numerik

Wintersemester 2018/19 Prof. Dr. Ira Neitzel

Fabian Hoppe

Ubungsblatt 12. ¨ Abgabe am 17. Januar vor der Vorlesung.

Aufgabe 1. Gegeben Sei das uneigentliche Integral I(f ) =

Z ∞

−∞

f (x )e

d x ,

d.h. wir verwenden das Interval [a, b] = (−∞, +∞) =

und hierauf die Gewichtsfunktion ρ(x ) := e

. Man beachte, dass I(·) mindestens auf der Menge aller Polynome wohldefi- niert ist.

Nun soll I (·) durch m-punktige Gauss–Quadratur approximiert werden. Die Orthogonalpo- lynome zur Gewichtsfunktion ρ ¨ uber

sind die sog. Hermite–Polynome.

a) Berechnen Sie die ersten drei Hermite-Polynome H

, H

, H

.

b) Bestimmen Sie die ein- und die zweipunktige Gauss–Hermite–Formel.

(3 + 3 = 6 Punkte)

Aufgabe 2. Auf dem Referenzintervall [0, 1] mit Gewichtsfunktion ρ : [0, 1] → (0, ∞) sei eine Quadraturformel Q gegeben durch

Z 1 0

f (x )ρ(x ) d x ≈ Q(f ) :=

m

X

k=1

τ

f (y

) +

n

X

k=1

σ

f (x

),

wobei ein Teil der insgesamt n + m Quadraturpunkte, n¨ amlich alle y

, k = 1, . . . , m, bereits fixiert ist. Die restlichen n Quadraturpunkte, d.h. x

, ..., x

, sowie die Gewichte τ

, ..., τ

, σ

, ..., σ

k¨ onnen passend gew¨ ahlt werden. Wir definieren die Polynome r (x ) = (x − y

)(x − y

) · · · (x − y

) sowie s(x ) = (x − x

)(x − x

) · · · (x − x

).

a) Man zeige, dass Q genau dann exakt f¨ ur alle Polynome p ∈ Π

ist, wenn folgende beiden Bedingungen erf¨ ullt sind:

(i) Q ist exakt f¨ ur alle Polynome q ∈ Π

(ii)

0

r (x )s(x )q(x )ρ(x ) d x = 0 f¨ ur alle q ∈ Π

.

b) Offensichtlich gehen durch die im Vergleich zur Gauss-Quadratur mit n + m Punkten nicht optimale Wahl der m fixierten Quadraturpunkte m Exaktheitsgrade verloren.

Worin liegt jedoch ein Vorteil der obigen Quadraturformel im Vergleich zur klassischen Gauss-Quadratur?

(4 + 1 = 5 Punkte)

1

Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass es zur Ann¨ aherung des Integrals I (f ) =

0

f (x )ρ(x )d x mit Gewichtsfunktion ρ : [0, 1] → (0, ∞) f¨ ur kein n ∈

eine numerische Quadraturformel

Q(f ) :=

n

X

k=1

σ

f (x

)

geben kann, die f¨ ur alle Polynome p ∈ Π

exakt ist.

(2 Punkte)

Aufgabe 4.

a) Zeigen Sie den folgenden Satz, der eine Verbindung zwischen dem Exaktheitsgrad einer einfachen Quadraturformel und der Konvergenzrate der zugeh¨ origen summierten Quadraturformeln bei Erh¨ ohung der Anzahl der Teilintervalle herstellt:

Theorem.

Sei Q(f ) :=

k=1

σ

f (x

) eine Quadraturformel auf dem Referenzintervall [0, 1] mit Exaktheitsgrad r ∈

und positiven Gewichten σ

, k = 1, ..., n, zur Approximation des Integrals I (f ) =

0

f (x )d x .

Dann konvergiert die zu Q geh¨ orige N-fach summierte Quadraturformel Q

mit Ordnung r + 1 gegen I(f ), d.h. f¨ ur (r + 1)-mal stetig differenzierbares f : [0, 1] →

gilt

|Q

(f ) − I(f )| ≤ Ckf

k

N

mit einer Konstanten C > 0, die unabh¨ angig von f ist.

Hinweise:f^(r+1)bezeichnet die (r+1)-te Ableitung vonf undk·k_C[0,1]ist die Supremumsnorm auf dem RaumC[0,1] der stetigen Funktionen auf [0,1].

Machen Sie sich zun¨achstPn

k=1σ_k = 1 klar und zeigen Sie dann, dass

|I(f)−Q(f)| ≤2 min

p∈Πr

kf −pk_C[0,1]

gilt. Ohne Beweis d¨urfen Sie verwenden, dass f¨ur (r+ 1)-mal stetig differenzierbares f gilt:

p∈Πminr

kf −pk_C[0,1]≤ 1

2^2r+1(r+ 1)!kf^(r+1)k_C[0,1].

b) Wie l¨ asst sich der Quadraturfehler |Q

(f ) − I(f )| durch die Anzahl der ben¨ otigten Funktionsauswertungen K ∈

asymptotisch (d.h. f¨ ur K → ∞) absch¨ atzen, wenn Q die Trapezregel bzw. die Simpsonregel bzw. die Gauss-Quadratur mit m Quadratur- punkten, m ∈

, ist?

Hinweis: Es ist nach einer Angabe der FormO(K^−m) o.¨A. gefragt.

(4 + 3 = 7 Punkte)

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