(ii) Muss die AbbildungT kontrahierend sein, wenn einm∈Nexistiert, so dass T(m) kontra- hierend ist? Aufgabe 7.2 Gegeben sei die Menge M

Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Reinhard Racke

Dipl.-Math. Olaf Weinmann

04. Dezember 2006 _¢¢AA¢¢AA ^¢¢AA

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Analysis I 7. Übungsblatt

Aufgabe 7.1 Es sei(X, d)ein vollständiger metrischer Raum undT:X−→Xeine Abbildung.

Fürn∈Ndenieren wir die n-te IterierteT⁽ⁿ⁾ vonT induktiv durch T⁽¹⁾(x) :=T(x),

T⁽ⁿ⁺¹⁾(x) :=T

³

T⁽ⁿ⁾(x)

´

, x∈X.

(i) Für ein m ∈ N sei die Abbildung T^(m) kontrahierend. Zeigen Sie, dass T genau einen Fixpunkt besitzt.

(ii) Muss die AbbildungT kontrahierend sein, wenn einm∈Nexistiert, so dass T^(m) kontra- hierend ist?

Aufgabe 7.2 Gegeben sei die Menge M :=

n

x∈R:x= m

2ⁿ für einm∈Zund ein n∈N o

. Zeigen Sie:

(i) Weder M nochR\M sind oen in R.

(ii) IstA⊂Reine oene Menge mit A⊂M, so istA=∅. (iii) ist Aeine abgeschlossene Menge mit M ⊂A, so istA=R.

Abgabetermin: Montag 11. Dezember 2006, vor der Vorlesung in die Briefkästen bei F411.