Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 2015/2016 Universität Bielefeld
Präsenzaufgaben zu Maß- und Integrationstheorie Blatt I vom 22.10.15
Aufgabe I.1
SeiΩeine abzählbare Menge und
R={A⊂Ω|Aendlich}.
Zeigen Sie, dass Rein Ring aber keine Algebra ist.
Aufgabe I.2
Sei Ω = {1,2,3,4}. Bestimmen Sie ein Mengensystem D, das ein Dynkinsystem aber keine σ-Algebra ist.
Aufgabe I.3
SeiRein Ring und µ:R →[0,∞]eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften:
• µ(∅) = 0,
• µist additiv, d.h. fallsA1, . . . , An∈ Apaarweise disjunkt sind, so gilt
µ
n
[
i=1
Ai
!
=
n
X
i=1
µ(Ai).
Beweisen Sie, dass µ genau dann σ-additiv ist1, wenn für Folgen (An)n∈N aus R mit An⊃An+1 undA=T∞
n=1An∈ R gilt
n→∞lim µ(An) =µ(A).
Aufgabe I.4
SeiRein Ring und µ:R →[0,∞]additiv. Zeigen Sie, dass für alle A, B∈ R gilt a) µ(B\A) =µ(B)−µ(A), fallsA⊂B undµ(A)<∞,
b) µ(A)≤µ(B), fallsA⊂B,
c) µ(A∪B) +µ(A∩B) =µ(A) +µ(B).
1d.h. für jede abzählbare Folge von disjunkten MengenA1, A2, . . . inRgilt
µ
∞
[
i=1
Ai
!
=
∞
X
i=1
µ(Ai).
