Aufgabe 1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → R eine Zufallsvariable und F

(1)

Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´ c

Hausaufgabe 7

Abgabe bis 31. Mai 13:00 Uhr

Aufgabe 1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → R eine Zufallsvariable und F

_X

: R → [0, 1] die zugeh¨ orige Verteilungsfunktion. Beweisen Sie die folgenden f¨ unf Eigenschaften (a) F

X

: R → [0, 1] ist monoton wachsend,

(b) F

X

ist rechtsstetig, d.h. lim

y&c

F

X

(y) = F

X

(c), (c) F

X

(c) − lim

y%c

F

X

(y) = P

X

({c}),

(d) F

X

ist stetig bei c ⇔ P

X

({c}) = 0,

(e) Ist X P -fast-sicher reellwertig, d.h. P (X ∈ R ) = 1, dann gilt lim

c&−∞

F

_X

(c) = 0 und lim

c%∞

F

X

(c) = 1.

Beachte, R ist mit der Borel-σ-Algebra ausgestattet und P

X

: B( R ) → [0, 1] ist eindeutig festgelegt durch F

X

([−∞, c]) = P (X ≤ c) f¨ ur beliebiges c ∈ R .

Aufgabe 2. Sei F : R → R eine monotone Funktion. Zeigen Sie (a) F hat h¨ ochstens abz¨ ahlbar viele Unstetigkeitstellen,

(b) F ist (B( R )- B( R ))-messbar.

Aufgabe 3. Fabian und Martin spielen B¨ urostuhlrennen. Sie liefern sich jeden Tag ein Rennen.

Der Sieger eines Rennens bekommt einen Punkt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Fabian gewinnt sei 1 > α > 1/2. Die Wahrscheinlichkeit, dass Martin gewinnt sei entsprechend β = 1 − α. Der Spieler, der mit zwei Punkten f¨ uhrt gewinnt das Duell.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Fabian das Duell?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Martin das Duell?

(c) W¨ are es f¨ ur Fabian besser, wenn derjenige das Duell gewinnt, der das erste Spiel gewinnt?

(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Duell nie endet?

Aufgabe 4. Sei f : R → R eine stetige Abbildung. Zeigen Sie: f ist (B(R)- B(R))-messbar.

Alternativ zu Aufgabe 4 k¨ onnen Sie auch die folgende Aufgabe l¨ osen. Diese wird mit maximal 6 Punkten bewertet.

Alternativaufgabe. Seien (Ω, τ ) und (Ω

⁰

, τ

⁰

) topologische R¨ aume. Zeigen Sie, dass jede stetige

Abbildung f : Ω → Ω

⁰

auch (B(Ω)- B(Ω

⁰

))-messbar ist.

(2)

Aufgabe 1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → R eine Zufallsvariable und F

Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´ c

Hausaufgabe 7

Abgabe bis 31. Mai 13:00 Uhr

Aufgabe 1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → R eine Zufallsvariable und F

: R → [0, 1] die zugeh¨ orige Verteilungsfunktion. Beweisen Sie die folgenden f¨ unf Eigenschaften (a) F

: R → [0, 1] ist monoton wachsend,

(b) F

ist rechtsstetig, d.h. lim

F

(y) = F

(c), (c) F

(c) − lim

F

(y) = P

({c}),

(d) F

ist stetig bei c ⇔ P

({c}) = 0,

(e) Ist X P -fast-sicher reellwertig, d.h. P (X ∈ R ) = 1, dann gilt lim

F

(c) = 0 und lim

F

(c) = 1.

Beachte, R ist mit der Borel-σ-Algebra ausgestattet und P

: B( R ) → [0, 1] ist eindeutig festgelegt durch F

([−∞, c]) = P (X ≤ c) f¨ ur beliebiges c ∈ R .

Aufgabe 2. Sei F : R → R eine monotone Funktion. Zeigen Sie (a) F hat h¨ ochstens abz¨ ahlbar viele Unstetigkeitstellen,

(b) F ist (B( R )- B( R ))-messbar.

Aufgabe 3. Fabian und Martin spielen B¨ urostuhlrennen. Sie liefern sich jeden Tag ein Rennen.

Der Sieger eines Rennens bekommt einen Punkt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Fabian gewinnt sei 1 > α > 1/2. Die Wahrscheinlichkeit, dass Martin gewinnt sei entsprechend β = 1 − α. Der Spieler, der mit zwei Punkten f¨ uhrt gewinnt das Duell.

(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Fabian das Duell?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Martin das Duell?

(c) W¨ are es f¨ ur Fabian besser, wenn derjenige das Duell gewinnt, der das erste Spiel gewinnt?

(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Duell nie endet?

Aufgabe 4. Sei f : R → R eine stetige Abbildung. Zeigen Sie: f ist (B(R)- B(R))-messbar.

Alternativ zu Aufgabe 4 k¨ onnen Sie auch die folgende Aufgabe l¨ osen. Diese wird mit maximal 6 Punkten bewertet.

Alternativaufgabe. Seien (Ω, τ ) und (Ω

, τ

) topologische R¨ aume. Zeigen Sie, dass jede stetige

Abbildung f : Ω → Ω

auch (B(Ω)- B(Ω

))-messbar ist.

Beachten Sie:

28.05.2010, 07:30 Vorlesung statt ¨ Ubung f¨ ur beide Gruppen, Raum 2/N001 28.05.2010, 09:15 Ubung entf¨ ¨ allt

31.05.2010, 11:30 Ubung statt Vorlesung f¨ ¨ ur beide Gruppen

02.06.2010, 09:15 Ubung (Tautenhahn) ¨