Aufgabe 2. Wir betrachten die einfache Irrfahrt auf Z mit Start in 0. F¨ ur a ∈ Z sei T a (ω) = inf{n ∈ N | X n (ω) = a}. Insbesondere ist T 0 (ω) die erste R¨ uckkehrzeit zum Startpunkt. Zeigen Sie f¨ ur a > 0

Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´ c Ubungsblatt 3 ¨

Aufgabe 1. Eine M¨ unze wird wiederholt geworfen. Die einzelnen W¨ urfe seien unabh¨ angig mit Wahrscheinlichkeit p f¨ ur Kopf. Sei E das Ereignis, dass r > 1 mal hintereinander Kopf f¨ allt bevor s > 1 mal hintereinander Zahl f¨ allt. Sei X 1 der Ausgang des ersten Wurfs. Zeigen Sie:

P {E|X ₁ = Kopf} = p ^r−1 + (1 − p ^r−1 ) P {E|X ₁ = Zahl}.

Finden Sie eine ¨ ahnliche Formel f¨ ur P {E|X ₁ = Zahl} und berechnen Sie P {E}.

Aufgabe 2. Wir betrachten die einfache Irrfahrt auf Z mit Start in 0. F¨ ur a ∈ Z sei T _a (ω) = inf{n ∈ N | X n (ω) = a}. Insbesondere ist T 0 (ω) die erste R¨ uckkehrzeit zum Startpunkt. Zeigen Sie f¨ ur a > 0

P {T ₀ (ω) > n und X _n (ω) = a} = P {T _a (ω) = n}

Ubrigens gilt auch ¨ P {T _a (ω) = n} = ^a _n P {X _n = a}.

Aufgabe 3. Bei der Wahl zum ¨ Ubungsleiter des Monats erh¨ alt Martin α ∈ N Stimmen und Fabian β ∈ N 0 Stimmen. Wir nehmen absurderweise α > β an. Die Stimmen werden in “v¨ ollig zuf¨ alliger” Reihenfolge ausgez¨ ahlt. Zeigen Sie, daß die Wahrscheinlichkeit, daß Martin w¨ ahrend der Simmenausz¨ alung stets in F¨ uhrung liegt, gleich (α − β)/(α + β) ist.

Aufgabe 4. Es sei (Ω, P(Ω), P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie, dass es keine Folge (A _n ) n∈ N ⊂ P(Ω) von unabh¨ angigen Ereignissen gibt mit

0 < P (A n ) = P (A 1 ) < 1 f¨ ur alle n ∈ N .

Aufgabe 5. Es sei p ∈ (0, 1), und es seien X 1 , X 2 , . . . unabh¨ angige, identisch verteilte Zufalls- gr¨ oßen mit P {X _i = 1} = 1 − P {X _i = 0} = p f¨ ur alle i ∈ N .

(a) Zeigen Sie, dass f¨ ur a ∈ (p, 1) und s ∈ R ⁺ gilt P

n 1 n

n

X

i=1

X _i > a o

≤ e ^−nas E {e ^sX

} n

, n = 1, 2, . . . .

(b) Beweisen Sie f¨ ur a ∈ (p, 1) und n ∈ N die Absch¨ atzung P

n 1 n

n

X

i=1

X i > a o

≤ e ^−nh(a,p) , wobei h(a, p) = a log a

p + (1 − a) log 1 − a 1 − p . (c) Folgern Sie unter Verwendung des Lemmas von Borel Cantelli, dass gilt

lim sup

n→∞

1 n

n

X

i=1

X _i ≤ p P -fast sicher.

In analoger Weise folgt lim inf n→∞ 1 n

P n

i=1 X i ≥ p P -fast sicher, und damit ist in dieser Situation das starke Gesetz der großen Zahlen bewiesen, n¨ amlich

n→∞ lim 1 n

n

X

i=1

X i = p P-fast sicher.