WS 2020/21 M. Röckner
Übungen zur Maÿ- und Integrationstheorie
Blatt 6 Abgabe: Freitag, 11.12.2020 Digitale Abgabe im Lernraum des Tutoriums Aufgabe 1.
Sei (Ω, A, µ) ein Maÿraum und sei f
n: Ω → R für alle n ∈ N eine Folge von A/B( R ) -messbaren Funktionen. Sei f : Ω → R deniert durch
f(ω) :=
( lim
n→∞
f
n(ω), falls (f
n(ω))
n∈Nkonvergent ist
0, sonst .
Beweisen Sie, dass f ebenfalls A/B(R)-messbar ist. (2 Punkte)
Aufgabe 2.
Sei (Ω, A, µ) ein Maÿraum und sei f
n: Ω → R für alle n ∈ N eine Folge von A/B(R)-messbaren Funktionen wobei f
0Lebesgue-integriebar ist und f
n(ω) > f
n+1(ω) für alle n ∈ N und alle ω ∈ Ω gilt.
Beweisen Sie, dass
Z
n∈
inf
Nf
ndµ = inf
n∈N
Z
f
ndµ
gilt. (2 Punkte)
Aufgabe 3.
Sei m : B( R ) → R ¯ das eindimensionale Lebesguemaÿ auf ( R , B( R )) . Konstruieren Sie eine Folge f
n: R → R
+von B( R ) -messbaren, Lebesgue-integrierbaren Funktionen mit
n→∞
lim f
n(x) = 0, ∀x ∈ R und
n→∞
